专题06 弧长及扇形面积重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优）（解析版）_1.docx

专题06弧长及扇形面积重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优）

题型一求弧长

题型二求扇形半径

题型三求圆心角

题型四求某点的弧形运动路径路径长度

题型五求扇形面积

题型六求图形旋转后扫过的面积

题型七求弓形面积

题型八求其他不规则图形的面积

题型九弧长与扇形面积计算综合

知识点一、弧长及扇形的面积

设的半径为，圆心角所对弧长为，

（一）弧长的计算

（1）弧长公式：

（2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所

对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为

注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角

所对弧长时，不要错写成

（2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。

（二）扇形面积的计算

（1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。

（2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。

（3）公式推导：

①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是

②即其中为扇形的弧长，为半径。

点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。

（2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是

（3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。

（4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。

【经典例题一求弧长】

【例1】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，点在圆上将沿翻折与交于点若，的度数为，则（???）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题主要考查了圆周角定理、弧长公式等知识点，求得的度数是解答本题的关键．作D关于的对称点E，连接,则，然后再根据的度数为可知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，最后运用弧长公式即可解答．

【详解】解：如图：作D关于的对称点E，连接,则，

∵的度数为，

∴，

∴

∴，

∴，

∴的长度为，

∴的长度为．

故选：D．

1．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，在扇形中，C为的中点，，若，则的长为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】连接，判定是等边三角形，推出，由圆心角、弧、弦的关系得到，由弧长公式即可求出；本题考查圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定，弧长的计算，关键是判定是等边三角形，掌握弧长公式．

【详解】解：连接

∵，

∴是等边三角形

∴

∵C为的中点，

∴

∴

∴的长

故选：B．

2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，为⊙O的直径，弦，垂足为点E，，连接BD，若，则的长为．

【答案】

【分析】本题考查了弧长的计算，求出圆心角和半径，再根据弧长公式求解即可．

【详解】解：连接，，

是的直径，弦，

，，

，

，

，

，

，

，

的长为．

故答案为：．

3．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1，在中，，且，垂足为点E．

(1)求的度数．

(2)如图2，连接OA，当，，求的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）连接，利用圆周角定理，证明，计算即可．

（2）连接，计算出的度数，运用弧长公式求的长即可．

本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．

【详解】（1）解：连接，

∵，

∴

∵

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）解：连接，

∵，

∴．

∵，，

∴．

∴．

∴．

∴的长．

【经典例题二求扇形半径】

【例2】（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（????）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】A

【分析】取圆心，连接，，，，根据圆周角定理得，设半径为米，则米，在中，根据勾股定理得，解得，圆弧所在圆的半径米．

【详解】解：如图，取圆心，连接

，

，

，

设半径为米，则米，

在中，根据勾股定理得，

，

即，

解得，

圆弧所在圆的半径米．

故选：．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．

1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知圆心角为的弧长为，则扇形的半径为（?????）

A．6 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】设扇形的半径为r，根据弧长公式可求出r的值，再由扇形的面积公式即可得出结论．

【详解】解：设扇形的半径为r，

∵扇形的圆心角为的弧长为，

解得：r=

故选B.

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答