2024_2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用一课一.docxVIP

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等式与不等式

2.2不等式

2.2.4均值不等式及其应用

考点1均值不等式的理解

1.(2024·山东兖州二中高二月考)若a,b∈R,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()。

A.a2+b22ab B.a+b≥2ab

C.1a+1b2ab D.ba

答案：D

解析：a2+b2≥2ab,所以A错误;ab0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a0,b0时,B错误;同理,C错误;ab或ba都是正数,依据不等式求最值,ab+ba≥2a

2.若a,b∈R,则下列不等式恒成立的是()。

A.|a+b|2≥|ab|

C.a2+b22≥a+b22

答案：C

解析：对于A,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,不等式不成立,故A中不等式不恒成立;对于B,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,-ab+ba≥2ab·ba=2,那么ab+ba≤-2,故B中不等式不恒成立;对于C,a2+b22≥a+b22,故C中不等式恒成立;对于D,(a+b)1a+1b=2+ab+ba,当a,b同号时ab+ba≥2,原不等式成立,当

3.(2024·北京第九十四中高二期中)若正实数a,b满意1a+2b=2ab,则ab的最小值为(

A.2 B.2 C.22 D.4

答案：B

解析：对于正实数a,b,由均值不等式可知1a+2b≥22ab,当且仅当1a=2b时取等号,则2ab≥2

4.(2024·北京东城区高二周练)已知x0,函数y=4x+x的最大值是()

A.22 B.4 C.-22 D.-4

答案：D

解析：y=x+4x=-(-x)+-4x,因为x0,所以-x0,-4x0,所以(-x)+-4x≥4,所以y=-(-x)+-4x

5.设0ab,则下列不等式中正确的是()。

A.ababa+b2 B.aab

C.aabba+b2 D.aba

答案：B

解析：因为0ab,则aba+b2,且a+b2b+b2=b,又a=aaab,故a

6.(2024·日照第一中学高二月考)设a,b,c∈R,则“abc=1”是“1a+1b+1c≤a+b+c”的(

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要的条件

答案：A

解析：由于1a+1b+1c

12(b

可知当abc=1时,可推出1a+1b+1c≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,满意1a+1b+1c≤a+b+c,但abc=1不成立。故“abc=1”是“1a+1b+

7.(2024·北京西城区高二期中)已知不等式:①x2+32x;②ab+ba≥2(ab0);③2aa2+11(a≠1)

答案：①②③

解析：对于①,x2+3-2x=(x-1)2+20,正确;对于②,因为ab0,ba0,所以ab+ba≥2恒成立;对于③,∵a≠1,∴2aa2+1,即2

考点2利用均值不等式比较大小

8.(2024·北京北外附校高二月考)已知x,y均为正数,且x≠y,则下列四个数中最大的一个是()。

A.121x

C.1xy D.

答案：A

解析：取x=1,y=2,可得121x+1y=34,1x+y=13,1xy=

9.若0ab且a+b=1,则下列四个数中最大的一个是()。

A.12 B.a2+b2 C.2ab D.

答案：B

解析：由题意知0a12,依据重要不等式知当0ab时,a2+b2(a+b)22=12,而2ab(a+b)22=12。由a+b=1及0ab可知12b1,即2b1,所以2

10.(2024·沈阳四中高二月考)a,b是正数,则a+b2,ab,2aba+b

A.a+b2≤ab≤2aba+b

C.2aba+b≤ab≤a+b2

答案：C

解析：因为a,b是正数,所以a+b2≥ab,再比较a+b2或ab与2aba+b的大小即可,而2aba+b≤

11.(2024·山东滨城区一中高二月考)若m,n,a,b,c,d均为正数,p=ab+cd,q=ma+nc·bm+dn,则p,

A.p≥q B.p≤q

C.pq D.不确定

答案：B

解析：q=ab+madn+nbcm+cd≥ab+2abcd+cd

12.设a,b,c均为正实数,则三个数a+1b,b+1c,c+1a(

A.都大于2 B.都小于2

C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2

答案：D

解析：∵a0,b0,c0,∴a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c≥6,当且仅当

考点3利用均值不等式求最值之无条件求最值

13.(2024·丹东四中高二月考)若x0,则x+2x的最小值是()

A.2 B.4 C.2 D.22

答案：D

解析：由均值不等式可得x+2x≥2x·2x=22,当且仅当x=2x,即x=2时取等号

14.函数y=2x(2-x)(其