2024_2025学年新教材高中数学第一章预备知识1.3不等式1.3.2基本不等式一课一练含解析北师.docxVIP

PAGE

PAGE1

第一章预备学问

§3不等式

3.2基本不等式

学问点1利用基本不等式比较大小

1.☉%*70￥7@@9%☉(2024·南昌二中检测)已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()。

A.ab≤12 B.ab≥

C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤2

答案：C

解析：2=a+b≥2ab,ab≤1,ab≤1,故A,B选项都是错误的。4=(a+b)2=a2+2ab+b2≤2(a2+b2),所以a2+b2≥2。

2.☉%68#7@￥￥8%☉(2024·衡水中学月考)下列不等式中,正确的是()。

A.a+b≥2ab B.(a+b)2≥6ab

C.a2+b22≥ab D.(a-b

答案：C

解析：选项A忽视了a,b的条件应为正实数,B,D选项只有在ab≤0时成立。

3.☉%7@*236@#%☉(2024·江苏丹阳中学检测)设0ab,a+b=1,则下列不等式正确的是()。

A.b2aba2+b2a

B.2abba2+b2a

C.2aba2+b2ba

D.2aba2+b2a2+

答案：C

解析：∵0ab且a+b=1,∴0a12b1

∴a2+b22ab,b=b(a+b)=ab+b2a2+b2,且a2+b2b。故2aba2+b2

学问点2基本不等式中的恒成立问题

4.☉%6@#￥072*%☉(2024·黄冈中学月考)若a,b∈R,则下列不等式恒成立的是()。

A.|a+b|2≥|ab|

C.a2+b22≥a+b22

答案：C

解析：对于A,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,不等式不成立,故A中不等式不恒成立;对于B,当a,b同号时,不等式成立,当a,b异号时,-ab+ba≥2ab·ba=2,那么ab+ba≤-2,故B中不等式不恒成立。对于C,a2+b22≥a+b22,故C中不等式恒成立;对于D,(a+b)1a+1b=2+ab+ba,当a,b同号时ab+ba≥

5.☉%￥41#*3@7%☉(多选)(2024·张家口二中月考)设a0,b0,则以下不等式中恒成立的是()。

A.(a+b)1a+1b≥4 B.a3+b3

C.a2+b2+2≥2a+2b D.|a-b|

答案：ACD

解析：∵a0,b0,

∴对于A,(a+b)1a+1b=2+ba

对于C,a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0,∴a2+b2+2≥2a+2b恒成立。

对于D,当a≥b时,(|a-b|)2=

而(a-b)2=a+b-2ab=a-b+2b-2ab=(a-b)+2b(b-a),又∵a≥b0,∴b-a≤0,∴(a-b)+2b(b-a)≤a-b,即|a-b|≥a-b;当ab时,|a-b|0,而a-b0,∴|a-b|

6.☉%4￥7#4*5#%☉(2024·辽宁试验中学期中)下列条件:①ab0;②ab0;③a0,b0;④a0,b0。其中能使ba+ab≥2成立的条件的个数是

答案：3

解析：要使ba+ab≥2,只要ba0且ab0,即a,b不为0且同号即可

7.☉%@7#87@0*%☉(多选)(2024·株洲中学期末)在下列各函数中,最小值等于2的函数是()。

A.y=x+1x(x

B.y=cosx+1cosx(0°x90

C.y=x

D.y=x2+4x

答案：AD

解析：当x0时,y=x+1x≥2,故A对;因为0xπ2,所以0cosx1,所以y=cosx+1cosx≥2中等号不成立,故B错;因为x2+2≥2,所以y=x2+2+1x2+2≥2中等号也取不到,故C错;因为x20,所以y=x2+4x2-2≥2x2·4

题型1利用基本不等式求最值或参数的取值范围

8.☉%#17￥9#7*%☉(2024·重庆一中月考)若x2+y2=4,则xy的最大值是()。

A.12 B.1 C.2

答案：C

解析：∵x2+y2=4≥2xy,∴xy≤2,当且仅当x=y时取等号,即xy的最大值是2,故选C。

9.☉%5￥@05#*6%☉(2024·莲塘一中检测)已知0x13,则x(1-3x)取最大值时x的值是()

A.14 B.15 C.16

答案：C

解析：∵0x13,∴1-3x0,∴x(1-3x)=13·3x(1-3x)≤13·3x+1-3x22=112,当且仅当3

10.☉%99￥#*4￥4%☉(2024·陕西榆林一中月考)已知t0,则函数y=t2-4t+1

A.-2 B.12 C.1

答案：A

解析：y=t2-4t+1t=t+1t-4≥2t·1t-4=-2,当且仅当

11.☉%0@06@#@5%☉(2024·江苏南通中学过关测试)若ab,b0,a+b=1,则1a2-11

A.6 B.7 C.8 D.9

答案：D

解析：由1a2-11b2-1=

∵a+b=1,∴2ab≤1,∴ab≤14