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第二十讲分式方程

【要点梳理】

要点一、分式方程、根与增根

1.分式方程

分母中含有未知数的方程叫分式方程.

要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未

知数.

2.分式方程的根、增根及检验

分式方程的解也叫作分式方程的根．

在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于O，那么它

是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为O，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增

根．

要点诠释：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方

程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方

程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方

程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．

（2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，

如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．

要点二、分式方程的解法

1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉

分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分

式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.

2.分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因

式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最

简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

要点三、分式方程的应用

分式方程的应用主要就是列方程解应用题.

列分式方程解应用题按下列步骤进行：

（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；

（2）设未知数；

（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；

（4）解这个分式方程；

（5）验根，检验是否是增根；

（6）写出答案.

1第二十讲分式方程

【典型例题】

类型一、判别分式方程

例1、（2016春•闵行区期末）下列方程中，不是分式方程的是（）

A．B．

C．D．

【思路点拨】判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．

【答案】B；

【解析】解：A、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；

B、该方程属于无理方程，故本选项正确；

C、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；

D、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；

故选：B．

【总结升华】本题考查了分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

类型二、解分式方程

10551

例2、解分式方程（1）2；（2）0．

22

2x112xx3xxx

【答案与解析】

105

解：（1）2，

2x112x

将方程两边同乘(2x1)，得

10(5)2(2x1)．

解方程，得

7

x

．

4

75

检验：将x代入2x1，得2x10．