倍长中线模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳.pdfVIP

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题5倍长中线模型

解题策略

倍长中线

倍长类中线

构造全等

C

E

如图①,是△ABC的中线，延长A。至点E使QE=,易证:△ACC丝SAS).

如图②，。是8c中点，延长F£＞至点E使Z)E=FZ),易证△FD8丝ZXEDC(SAS)

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对

已知条件中的线段进行转移.

经典例题

\zuzu•吠四咸阳•一模)问题提出

(1)如图，4D是AABC的中线,则4B+AC2AD；(填〈”或“=”)

BDC

问题探究

(2)如图，在矩形4BCO中，C。=3,BC=4,点E为BC的中点，点F为CD上任意一点，当

△4EF的周长最小时，求CF的长；

HC

问题解决

(3)如图，在矩形4BCD中，4C=4,BC=2,点。为对角线4c的中点，点P为4B上任意一

点，点Q为4c上任意一点，连接P。、PQ、BQ,是否存在这样的点Q,使折线OPQB的长度

最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)(2)CF=1(3)当点Q与4C的中点。重合时，折线OPQB的长度最小,

最小长度为4.

【分析】(1)如图(见解析)，先根据三角形全等的判定定理与性质得出A8=EC,再根据

三角形的三边关系定理即可得；

(2)如图(见解析)，先根据矩形的性质得出AB=3/B=4BCC=90。,48〃6,从而可

得AE的长，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短得出A4EF的周长最小时，点F

的位置，然后利用相似三角形的判定与性质即可得；

(3)如图(见解析)，先根据轴对称性质、两点之间线段最短得出折线OPQB的长度最小时，

B,Q,P,。四点共线，再利用直角三角形的性质、矩形的性质得出NB4C=30°,AB=2百，

A0=2,然后利用轴对称的性质、角的和差可得4夕=26,4。，=2,/.BAO=90°,由此

利用勾股定理可求出B。的长，即折线0PQ8的最小长度；设夕。交4c丁点。，根据等边三

角形的判定与性质可得力Q=2,从而可得力Q=A0,由此即可得折线。PQ8的长度最小时，

点Q的位置.

【详解】(I)如图，延长AD,使得=连接CE

•••4D是AABC的中线

•••BD=CD

AD=ED

在△ABD和△ECC中，\/_ADB=Z.EDC

BD=CD

ABDWAECD(SAS)

•••AB=EC

在A4CE中，由三角形的三边关系定理得EC+AOAE,