2024—2025学年北京市第一○一中学高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京市第一○一中学高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.点到直线的距离等于（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.椭圆的离心率为（）

A．2

B．

C．

D．

(★★)3.如图，在四面体中，，，.点，分别为棱，的中点，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与.所成角的余弦值是（）

A．0

B．

C．

D．

(★★)5.若直线：与直线：平行，则（）

A．3

B．

C．3或

D．3或1

(★★)6.在长方体中，，则二面角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.对于直线：，下列说法不正确的是（）

A．恒过定点

B．当时，不经过第二象限

C．的斜率一定存在

D．当时，的倾斜角为

(★★★)8.若直线经过点，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)9.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于12，化简得曲线：，下列结论不正确的是（）

A．曲线关于轴对称

B．的最大值为3

C．的最小值为

D．的最大值为4

(★★★★)10.如图，棱长为2的正方体中，点为的中点.动点满足，，.给出下列四个结论：

①平面平面；

②设直线与平面所成角为，则的取值范围是；

③设平面，则三棱锥的体积为；

④以的边所在直线为旋转轴，将旋转，则在旋转过程中，的取值范围是.

其中正确结论的个数是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

二、填空题

(★)11.如果直线与直线互相垂直，则实数的值是______.

(★★★)12.已知圆的面积为，则__________．

(★★★)13.过点的直线与圆：交于，两点，为圆心，当最小时，直线的方程是______.

(★★★)14.已知椭圆，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为，则的值是______.

(★★★★)15.如图，长方形中，，，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点再次落到平面内），点到平面距离的最大值为______，的中点的轨迹长度为______.

(★★★)16.已知直线：与：相交于，两点，为弦的中点.给出下列三个结论：

①弦长度的最小值为；

②点的轨迹是一个圆；

③若点，点，则不存在点使得；

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题

(★★★)17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)求点到平面的距离.

(★★★)18.已知圆过点和点，且圆心在直线上，直线过点.

(1)求圆的方程；

(2)若与圆相切，求的方程；

(3)若与圆相交于，两点，线段的中点为，与：的交点为，求证：为定值.

(★★★★)19.羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图，五面体是一个羡除，其中四边形与四边形均为等腰梯形，且，，，为中点，平面与平面交于.

(1)求证：平面；

(2)已知点是线段上的动点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

条件①：平面平面；

条件②：.

(★★★★★)20.已知集合（，），若与满足，且（），则称集合可分，称为的一个分法.

(1)已知是的一个分法，试写出，，，，，的值；

(2)若集合可分，证明：集合的分法一定有偶数个；

(3)判断，是否可分.若可分，写出共有几种分法，并推出所有的分法；若不可分，说明理由.