人教A版数学(选择性必修一讲义)第32讲拓展一：中点弦问题(学生版+解析).docxVIP

第07讲拓展一：中点弦问题

一、知识点归纳

知识点01：相交弦中点（点差法）：

直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。

主要有以下几种问题：

（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；

中点，，

知识点02：点差法：

设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；

将两式相减，可得；；

最后整理得：

同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：

设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；

将两式相减，可得；整理得：

二、题型精讲

题型01求直线方程

【典例1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（????）

A． B．

C． D．

【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程.

（2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程.

【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点.

(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；

(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（????）

A． B．

C． D．

【变式2】（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．

【变式3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．

题型02处理存在性问题

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为.

(1)求的方程；

(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【典例2】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.

(1)求C的标准方程；

(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围.

【典例2】（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线和椭圆交于两点，且的周长为．

(1)求的方程；

(2)设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．

【变式1】（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且．

(1)求曲线的标准方程；

(2)直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围．

【变式2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围.

题型05定值问题

【典例1】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足.问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线的方程；

(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线交AB于，点的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．

(1)求实数的值；

(2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．

第07讲拓展一：中点弦问题

一、知识点归纳

知识点01：相交弦中点（点差法）：

直线与曲线相交，涉及到交线