人教A版数学(选择性必修一讲义)第34讲拓展三：圆锥曲线的方程(弦长问题)(学生版+解析).docxVIP

第09讲圆锥曲线的方程（弦长问题）

一、知识点归纳

知识点一：弦长公式

（最常用公式，使用频率最高）

知识点二：基本不等式

（当且仅当时等号成立）

二、题型精讲

题型01求椭圆的弦长

【典例1】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足（为坐标原点），求弦长的值．

??

【典例2】（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．

??

【变式1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．

(1)求动点的轨迹方程；

(2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长．

【变式2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校联考期末）已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），长轴长为2，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.

题型02求椭圆的弦长的最值（范围）

【典例1】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）过点的直线与椭圆交于两点，则的最大值是.

【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，C上的点到其焦点的最大距离为．

(1)求C的方程；

(2)若圆的切线l与C交于点A，B，求的最大值．

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为，直线与椭圆交于，两点.

(1)求椭圆的的标准方程；

(2)若直线，的斜率分别为，，且，求的最小值.

【典例4】（2023秋·湖南岳阳·高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值．

【变式2】（2023春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为．点为圆：上任意一点，为坐标原点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)记线段与椭圆交点为，求的取值范围．

【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．

(1)求椭圆的方程；

(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．

题型03根据椭圆的弦长求参数

【典例1】（2023春·上海静安·高二统考期末）在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.

(1)求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；

(2)当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.

【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为，上顶点为，的面积为，离心率．

(1)求椭圆的方程；

(2)若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于、两点，若弦长的取值范围为，求斜率的取值范围．

【典例3】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．

【变式1】（2023春·上海浦东新·高二统考期末）椭圆C：．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若、分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且，求点P的坐标；

(3)如果l：被椭圆C截得的弦长，求该直线的方程．

【变式2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：与椭圆：，且椭圆过椭圆的焦点.过点且不与坐标轴平行或重合的直线与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若存在直线，使得，求实数的取值范围.

【变式3】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）椭圆E的方程为，短轴长为2，若斜率为的直线与椭圆E