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第5章二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅立叶级数

本章首先在柱坐标和球坐标系对二维和三维泛定方程分离变

量，导出著名的变系数常微分方程：贝塞尔方程和勒让德方程。

接着对常见的变系数线性微分方程进行分类，介绍了如何用

幂级数解法和弗罗贝尼乌斯级数解法求解正则奇点的二阶常微分

方程。

最后对常见的施图姆-刘维尔型微分方程的特征值和特征函

数的性质作了系统的介绍。

本章的内容是第四章内容的继续和深入，也是以后几章特殊

函数的基础，这些内容对了解数理方程有关键作用。

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第5章二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅立叶级数

§5.1贝塞尔方程与勒让德方程

§5.2二阶线性常微分方程的幂级数解法

§5.3二阶线性常微分方程的广义幂级数解法

§5.4常微分方程的边值问题

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5.1贝塞尔方程与勒让德方程

§5.1.1贝塞尔方程的导出

§5.1.2勒让德方程的引入

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5.1.1贝塞尔方程的导出

贝塞尔方程来自于柱坐标下的定解问题。

若一个物理问题是z方向无穷长的圆柱体，或者所求物体的物理

t

zx,y

性质在方向都是相同的，而只与时间和空间有关，这就形成

了柱坐标下的定解问题。

z

(,,z)

0

y





x

图5.1柱坐标系

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5.1.1贝塞尔方程的导出

u2u2u

222

（5.1-1）

,xyR,t0



22

txy



ux,y,x2y2R2（5.1-2）

t0



ux2y2R20,t0