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第6章柱面坐标中的偏微分方程解法

本章的重点内容是傅里叶-贝塞尔级数的展开和边值问

题，因此对函数如何在三类边值条件下展开，以及求方程的特

征值问题既作了理论分析又给出了近似计算的例子，并对霍姆

维兹方程产生的二重傅里叶-贝塞尔级数作了简要介绍；也对

特征值小于零的变形贝塞尔方程及修正的贝塞尔函数和诺依曼

函数作了分析和讨论。最后，回顾了汉克尔函数、开尔芬函

数、球贝塞尔函数等几类贝塞尔函数及其来源。

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第6章柱面坐标中的偏微分方程解法

§6.1贝塞尔方程的解与贝塞尔函数

§6.2贝塞尔函数的递推公式

§6.3贝塞尔函数的性质

§6.4傅立叶－贝塞尔级数

§6.5柱坐标下的边值问题

§6.6虚宗量贝塞尔函数

§6.7其他类型的贝塞尔函数

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6.1贝塞尔方程的解与贝塞尔函数

§6.1.1第一类和第二类贝塞尔函数

§6.1.2整数阶诺依曼函数

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6.1.1第一类和第二类贝塞尔函数

n阶带参变量的贝塞尔方程是

222

rRrRrnR0

这里讨论0的情况。作变换rx,Rry代入上式，成为

经常见到的形式

222

xyxyxny0(6.1-1)



设式(6.1-1)的解是yxaxk(6.1-2)

k

k0

将式(6.1-2)代入(6.1-1)，得到



22kk2



knaxax0

kk

k0k0

令k2k代入到上式中的第二项，有

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6.1.1第一类和第二类贝塞尔函数



22kk

knaxax0

kk2