2024—2025学年湖南省长沙市第一中学高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年湖南省长沙市第一中学高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.已知复数，则在复平面对应的点位于（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(★★)2.设直线的倾斜角为，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★)5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（）（，，）

A．0.816m

B．1.33m

C．1.50m

D．1.63m

(★★)6.已知圆与圆外切，则的最大值为（）

A．2

B．

C．

D．3

(★★★)7.若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.下列说法正确的是（）

A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2

B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18

D．若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15

(★★★)10.下列四个命题中正确的是（）

A．过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为

B．过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或

C．定点到圆上的点的最大距离为

D．过定点且与圆相切的直线方程为或

(★★★)11.在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则（）

A．当时，点P到平面的距离为

B．当时，点P到平面的距离为

C．当时，存在点P，使得

D．当时，存在点P，使得平面

三、填空题

(★)12.假设，且与相互独立，则______.

(★★)13.斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则______．

(★★★)14.已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，，则的最小值为__________．

四、解答题

(★★★)15.已知的三个内角的对边分别为，且.

(1)求角；

(2)若，点满足，且，求的面积；

(★★★)16.在四棱锥中，底面是正方形，若，，.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

(★★★)17.已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且.

(1)求的方程；

(2)，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围.

(★★★)18.已知是数列的前项和，若.

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若，数列的前项和为.

（ⅰ）求取最大值时的值；

（ⅱ）若是偶数，且，求.

(★★★★★)19.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；

(2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；

(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.