辽宁省大连市2024−2025学年高二上学期10月月考 数学试卷[含答案].docx

2024?2025学年高二上学期10月月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知，，，若四点共面，则实数（????）

A． B． C． D．

2．如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（????）

A．4 B． C． D．2

3．已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若，，，则点A到直线的距离为（????）

A． B． C． D．

5．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面α的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面α所成角的正弦值为（????）

A． B． C． D．

6．如图，正四棱台中，，则在上的投影向量是（????）

A． B． C． D．

7．如图，四面体A-BCD，△ABD与△BCD均为等边三角形，点E、F分别在边AD、BD，且满足，，记二面角的平面角为，，则异面直线BE与CF所成角的正弦值是（????）

A． B． C． D．

8．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知四面体，则下列说法正确的是（????）

A．若D为的中点，E为的中点，则

B．若四面体是棱长为1的正四面体，则

C．若，，，则向量在上的投影向量是

D．已知，，，则向量，，不可能共面

10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设，，，若，，AB=AC=AA1=1，则下列说法中正确的是（????）

A． B．

C．直线AB1和直线BC1相互垂直 D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为

11．在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（????）

A．若∥平面，则动点的轨迹是一条长为的线段

B．存在点，使得⊥平面

C．三棱锥的最大体积为

D．若，且与平面所成的角为，则的最大值为

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是.

13．如图，正方体的棱长是2，S是的中点，P是的中点，点Q在正方形及其内部运动，若平面，则点Q的轨迹的长度是.

14．在平面四边形中，，，，，沿将向上翻折，得到四面体，则四面体体积的最大值为；若二面角的大小为120°，则.

四、解答题（本大题共5小题）

15．如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设．

(1)试用表示向量；

(2)若，求异面直线与的夹角的余弦值．

16．如图一，是等边三角形，为边上的高线，，分别是，边上的点，；如图二，将沿翻折，使点到点的位置，.

??

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的正弦值.

17．如图，在四棱台中，，，，，．

??

(1)证明：平面平面；

(2)若四棱台的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．

18．在正方体中，为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，为直线上的动点.

??

(1)点在棱上，当时，平面，试确定动点在直线上的位置，并说明理由；

(2)若为底面的中心，求点到平面的最大距离.

19．已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则叫做向量，的夹角，记作，定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，E为上一点，.

(1)求的长；

(2)若E为的中点，求二面角的余弦值；

(3)若M为上一点，且满足，求.

参考答案

1．【答案】D

【详解】若四点共面，则存在实数使得成立，

则解得

故选：D．

2．【答案】C

【详解】，

．

故选：C．

3．【答案】B

【分析】利用线面垂直的性质及其法向量与方向向量的关系，即可判断得出结论.

【详解】根据题意可知，如下图所示：

若，则可以在平面内，即，所以充分性不成立；

若，易知，由线面垂直性质可知，即必要性成立；

所以可得“”是“”的必要不充分条件.

故选B.

4．【答案】A

【详解】，，则在上的投影向量的模为，

则点A到直线的距离为．

故选：A.

5．【答案】A

【详解】由题设知：平面α的法向量，直线l的方向向量，

且平面α与直线l相交于，

所以直线l与平面α所成角的正弦值为.

故选：A

6．【答案】A

【详解】设正四棱台的高为，

所以四边形，是正方形，设其中心分别为，连接，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，且作，

由勾股定理得，所以，

由题意得，，