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内蒙古呼和浩特市2024?2025学年高二上学期第一次月考数学试题
一、单选题(本大题共8小题)
1.已知直线l的方向向量为,平面的法向量为,则“”是“”的(????)
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
2.已知,为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列命题中正确的是(????)
A.若,,,,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,,则
3.关于空间中的角,下列说法中正确的个数是(????)
①空间中两条直线所成角的取值范围是????②空间中直线与平面所成角的取值范围是
③空间中二面角的平面角的取值范围是????④空间中平面与平面所成角的取值范围是
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知三棱锥,点是的中点,点是的重心(三角形三条中线的交点叫三角形的重心)设,,,则向量用基底可表示为(????)
??
A. B.
C. D.
5.已知平面的法向量为,若平面外的直线的方向向量为,则可以推断(????)
A. B.
C.与斜交 D.
6.如图,在平行六面体中,,,,则(????)
A.12 B.8 C.6 D.4
7.如图,已知大小为的二面角棱上有两点A,B,,,若,则AB的长度()
A.22 B.40 C. D.
8.已知,则下列说法错误的是(????)
A.若分别是直线的方向向量,则所成角余弦值是
B.若分别是直线l的方向向量与平面的法向量,则l与所成角正弦值是
C.若分别是平面ABC、平面BCD的法向量,则二面角的余弦值是
D.若分别是直线l的方向向量与平面的法向量,则l与所成角余弦值是.
二、多选题(本大题共3小题)
9.直线的方向向量为,两个平面的法向量分别为,则下列命题为真命题的是(????)
A.若,则直线平面
B.若,则平面平面
C.若,则平面所成锐二面角的大小为
D.若,则直线与平面所成角的大小为
10.关于空间向量,以下说法正确的是(????)
A.若,则向量,的夹角是锐角
B.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
C.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
D.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不共面
11.(多选)如图,在棱长为1的正方体中,E,F分别为的中点,则下列结论正确的是(????)
A.点F到点E的距离为 B.点F到直线的距离为
C.点F到平面的距离为 D.平面到平面的距离为
三、填空题(本大题共3小题)
12.在空间直角坐标系中,点,2,关于轴的对称点的坐标为
13.已知空间,,,则=.
14.给定两个不共线的空间向量与,定义叉乘运算:.规定:
(i)为同时与,垂直的向量;
(ii),,三个向量构成右手系(如图1);
(iii).
如图2,在长方体中,,.给出下列四个结论:
①;
②;
③;
④.其中,正确结论的序号是.
四、解答题(本大题共5小题)
15.在长方体中(如图),,,点是棱的中点.
(1)求异面直线与所成角的大小;
(2)《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,试问四面体是否为鳖臑?并说明理由.
16.如图,在三棱柱中,四边形是边长为4的正方形.再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.并做答.
条件①:;条件②:;条件③:平面平面.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17.如图,四边形为梯形,,四边形为平行四边形.
(1)取中点,求证:平面平面;
(2)若平面,,,,求:
(i)平面与平面所成角的正弦值;
(ii)点到平面的距离.
18.如图,在直三棱柱中,,,,,分别为,,的中点
(1)求证:平面;
(2)求证:、、、四点共面;
(3)求二面角的余弦值.
19.如图,在长方体中,AD=1,,H,F分别是棱,的中点.
(1)判断直线HF与平面的位置关系,并证明你的结论;
(2)求直线HF与平面ABCD所成角的正弦值;
(3)在线段HF上是否存在一点Q,使得点Q到平面的距离是,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
参考答案
1.【答案】D
【详解】若,则或,故充分性不成立,
若,则,故必要性成立,
所以“”是“”的必要不充分条件,
故选:D.
2.【答案】B
【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.
【详解】解:对于A,若,,,,,则,故错误;
对于B,,,则,正确;
对于C,,,则或,故错误;
对于D,若,,,则或异面,故错误.
故选:B
3.【答案】C
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角范围判断即可.
【详解】对于①:由空间中两条直线所成角的取值范围是,可知①正确;
对于②:由空间中直线与平面所成角的取值范围是
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