【课件】函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptxVIP

高中数学·必修—

第四章指数函数与对数函数

函数的零点与

方程的解

函数

y=logax(a1)

在(0,+0)上的单调性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

固定不变

越来越快

越来越慢

图象的变化

匀速上升

随着x的增大越来越陡

随着x的增大逐渐变缓

知识回顾

一次函数、指数函数、对数函数的增长速度比较

k=0.1

a:1.1

b=1.1

一次函数：y=kx(k0)

对数函数：y=logaX

60

55

50

45

40

35

30

指数函数：

动画

y=b(b1)

25

20

15

10

5

-45-40-35-30

-20-15

5

510152025

30354045505560

6570

问题探究

-25

10

直线上升增长速度不变，匀速上升.

对数增长随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.

指数爆炸随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”

-

讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.

问题探究

函数零点的定义

对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=

f(x)的零点.

定义

函数的零点

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=

f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.

方程f(x)=0有实数解

⇔函数y=f(x)有零点

⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.

函数的零点

【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)=x²

十2x+4;(2)f(x)=2x—3;(3)f(x)=1—log₃x.

(1)令x²+2x+4=0,

由于△=2²-4×1×4=-120,

所以方程x²+2x+4=0无实数根，

所以函数f(x)

=x²+2x+4不存在零点

(2)令2=3=0,解得x=log₂3.所以函数f(x)=2x-3的零点是x=log₂3.

(3)令1-log₃x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1—log₃x的零点是x=3.

探究一：求函数的零点

2、函数f(x)=x³-x的零点个数是()

A.0B.1C.2

【解析】

f(x)=x(x-1)(x+1),令x(x-1)(x+1)=0,解得x=0或x=1或x=-1,

即函数的零点为-1,0,1,共3个.

随堂练习

探索新知

通常来说，求一个较复杂方程的解，我们一般关注这样一些问题

1.该问题有没有解；

2.如果方程有解，该方程有几个解；

3.该方程的解在哪里.

探索新知

问题1:函数f(x)=Inx+2x-6有零点吗?

→函数f(x)=Inx+2x-6的图象与x轴有公共点吗?→方程lnx+2x-6=0有解吗?

一般地，对于不能用公式求解的方程f(x)=0,我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解.

问题探究

函数零点存在定理

对于二次函数f(x)=x²-2x-3,观察

它的图象，发现它在区间[2,4]上有零点.这时，函数图象与x轴有什么关系?在区

间[-2,0]上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数f(x)的取值规律来刻画这种关系?

问题探究

探究一

结论

①二次函数f(x)=x²-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3,它是方程x²-2x-3=0的一个根.

在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴.

函数在端点x=2和和x=4的取值异号，即f(2)f(4)0.

问题探究

再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区

间内函数图象与x轴的关系.

问题探究

探究二

这几个函数都是至少有一个零点的.

同样地，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴.函数在零点两端的取值为异号.

问题探究

观察下面几个函数的图象

这几个函数都是没有零点的.

函数的图象都在x轴的同一侧，没有“穿过”x轴.

问题探究

再观察下面几