第7讲全等三角形中手拉手（旋转）模型.docxVIP

第07讲：全等三角形中手拉手（旋转）模型

【应对方法与策略】

【基本模型】

一、等边三角形手拉手-出全等

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：

①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；

【多题一解】

一．解答题（共13小题）

1．（2022?金平区一模）如图，AB、CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为上一点，点F为EC延长线上一点，∠FAC＝∠AEF．连接ED，交AB于点G．

（1）证明：AF为⊙O的切线；

（2）证明：AF＝AG；

（3）若⊙O的半径为2，G为OB的中点，AE的长．

2．（2022?兰州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD平分∠CAB交⊙O于点D，在OD的延长线上存在一点E，使得∠CED＝∠B，连接CD．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）当CE＝CB时，判断四边形ACDO的形状并说明理由．

3．（2022?海淀区二模）已知AB＝BC，∠ABC＝90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．

（1）如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，

①求证：CE+DE＝AD；

②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；

（2）在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．

4．（2022?南平模拟）如图，BD是⊙O的直径，＝，点C是半圆上一动点，且与点A分别在BD的两侧．

（1）如图1，若＝5，BD＝4，求AC的长；

（2）求证：CD+BC＝AC．

5．（2022?黔东南州一模）综合与实践

（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．

（2）类比探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．

填空：①∠AEB的度数为；

②线段CM，AE，BE之间的数量关系为．

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，则四边形ABEC的面积为．

6．（2022?威县校级模拟）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转120°得到线段AE，连接CE，DE．设∠BAD＝α．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）求AD长度的最小值；

（3）用含α的代数式表示∠DEC；

（4）若△ABD的外心在该三角形的内部时，m°＜α＜n°，直接写出m，n的值．

7．（2022?黄冈二模）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

填空：①∠AEB的度数为；

②线段AD，BE之间的数量关系为；

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题

如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一动点P到点B的距离为3，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA，DB，PB，则BD是否有最大值和最小值，若有直接写出，若没有说明理由？

8．（2022?邵阳模拟）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．

（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM＝cm．

（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）

（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积．

【一题多解】