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第23讲：几何图形面积中的分类讨论

【应对方法与策略】

知识内容：

固定面积的存在性问题最为简单，在待求图形中，往往只有一个是变量，此时只需通过方程将其解出即可．

解题思路：

根据题目条件，求出相应的固定面积；

找到待求图形合适的底和高；

列出方程，解出相应变量；

根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．

【多题一解】【一题多解】

一、解答题

1．（2023秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．

(1)求、OB的长；

(2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求t的范围；

(3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

2．（2022春·广东湛江·八年级吴川市第一中学校考期末）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止：动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为1秒，当时，求的面积．

(3)在（2）的条件下，当点P，Q运动至四边形为矩形时，求t的值．

3．（2022秋·山东济宁·九年级嘉祥县第四中学校考期末）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形AOCD面积的最大值；

(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2022春·重庆开州·七年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）、C（b，0）满足+|b-2|=0．

(1)求点A、点C的坐标；

(2)已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从点C出发向左以每秒1个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发以每秒2个单位长度的速度向上匀速移动，点D（1，2）是线段AC上一点，设运动时间为t（t0）秒,当S△ODQ＝2S△ODP，此时是否存在点M（m，6）使得S△ODM＝3S△ODQ，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2021春·四川泸州·八年级统考期末）如图（a），直线∶经过点A、B，OA=OB=3，直线:交y轴于点C，且与直线交于点D，连接OD．

(1)求直线的解析式；

(2)求△OCD的面积；

(3)如图（b），点P是直线上的一动点，连接CP交线段OD于点E，当△COE与△DEP的面积相等时，求点P的坐标；

(4)在（3）的条件下，若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以D、C、P、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2022秋·河南安阳·九年级校考期中）综合与实践??探究特殊三角形中的相关问题

问题情境：

某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

(1)初步探究：

勤思小组的同学提出：当旋转角α=时，△AMC是等腰三角形；

(2)深入探究：

敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；

(3)再探究：

在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；

(4)拓展延伸：

在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．

7．（2022秋·河北邯郸·九年级大名县第一中学校考阶段练习）如图，已知反比例函数的图象经过A，B两点，直线与x轴交于点C，且点，．

(1)求m的值；

(2)分别求点B和点C的坐标及的面积；

(3)将直线AB向上平移后，与反比例函数的图象交于点，（点在点的上方），与x轴交于点，与y轴交于点P，连接，，若，且，求的面积．

8．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），与轴交于点，且，是第四象限内抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；

(3)在（2）的条件下：当的值最大时，如图，