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第21讲：直角三角中的分类讨论

【应对方法与策略】

1、两个定点求一个动点。这种题目找点方法是过两个定点做垂线，以定长为直径画圆，简称“两个垂直一个圆”。通过这样的作图法，可以快速找到符合题意的点，这就是常说的找点。求点的方法，构造三垂直模型，根据直角两侧有相似就可以求解。

2、两个动点或三个动点。因为三角形只有三个角，所以分三种情况讨论就可以了！当然有时也有直角不成立的情况。当它们分别为直角时，用相似或勾股定理求解，一般情况下，相似求解比勾股定理要简单一些。

【多题一解】【一题多解】

一、解答题

1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，等边△ABC中，AB＝10cm，CD＝4cm．点M以3cm/s的速度运动．

(1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动、它们同时出发，若点N的速度与点M的速度相等；

①经过2s后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．

②当M，N两点的运动时间为多少秒时，△BMN恰好是一个直角三角形？

(2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M按原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25s时，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是?????cm/s．（请直接写出答案）

2．（2022·湖北宜昌·统考一模）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，BO＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．

①求旋转角的度数；

②求线段OD的长；

③求∠BDC的度数．

（2）如图2，点O是正方形ABCD内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCP，连接OP．当OA、OB、OC满足什么条件时，△OCP为直角三角形？

3．（2022·四川南充·统考三模）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于．是第一象限内抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的解析式．

(2)连接，，当时，求点的坐标．

(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，平移后，的对应点分别为、，在轴上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

4．（2022·广西·统考中考真题）已知，点A，B分别在射线上运动，．

(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：

(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：

(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值．

5．（2023春·八年级课时练习）如图，正比例函数y＝x与一次函数y＝ax＋7的图像相交于点P（4，n），过点A（t，0）作x轴的垂线l，且0＜t＜4，交一次函数的图像于点B，交正比例函数的图像于点C，连接OB．

(1)求a值；

(2)设△OBP的面积为s，求s与t之间的函数关系式；

(3)当t=2时，在正比例函数y＝x与一次函数y＝ax＋7的图像上分别有一动点M、N，是否存在点M、N，使△CMN是等腰直角三角形，且∠CNM=90o，若存在，请直接写出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2022春·广西桂林·八年级校考期中）如图，Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，，．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)当为何值时，；

(3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

7．（2022·山东济南·山东省济南稼轩学校校考模拟预测）如图，抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)如图，连接，过点作的平行线交抛物线于点，为线段上一动点，连接交抛物线于点，连接交于点，连接，的面积是否有最大值，若有，求出最大值，若无，请说明理由．

(3)如图，以为直角顶点，为直角边边向右作等腰直角，将沿射线线平移得到，连接、，的周长是否有最小值，若有，求的周长的最小值，若无，请说明理由．

8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动的时间为t秒．

①点P在运动过程中，若∠CBP＝15°，求t的值；

②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值．

9．（2022秋·广东中山·九年级统考期末）如图，抛物线y