2024_2025学年新教材高中数学第四章对数运算和对数函数微专题集训四指数函数与对数函数的综合应用.docxVIP

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第四章对数运算与对数函数

微专题集训四指数函数与对数函数的综合应用

专题1指数、对数函数的图像及其应用

1.☉%@358￥*1*%☉(2024·临川一中月考)已知函数f(x)=3x,x≤1,log13x,

图4-1

答案：B

解析：先作出f(x)=3x,x≤1,log13x,x1的大致图像,如图所示,再把f(x)

2.☉%*9￥7@07*%☉(2024·枣庄八中质量检测)函数f(x)=e1-x2的部分图像大致是

图4-2

答案：C

解析：明显函数为偶函数,所以图像关于y轴对称,解除A,B;因为e1-x20,所以解除

3.☉%*3*￥8#49%☉(2024·张家口一中月考)已知f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a0,a≠1),若f(4)·g(-4)0,则y=f(x),y=g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图像是()。

图4-3

答案：B

解析：由f(4)·g(-4)0知a2·loga40,所以loga40,所以0a1,所以f(x)和g(x)在(0,+∞)上都是减函数,只有B选项符合。故选B。

4.☉%@603*￥#6%☉(2024·长沙一中月考)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a0,a≠1)的图像如图4-4,则a,b满意的关系是()。

图4-4

A.01ab1B.0b1

C.01ba1D.01a

答案：A

解析：由题图知函数f(x)单调递增,所以a1。又-1f(0)0,f(0)=loga(20+b-1)=logab,即-1logab0,所以01ab1。故选A

5.☉%##0￥7#53%☉(2024·石门一中月考)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么方程f(x)=|lgx|的解的个数是多少?

答案：解:画出函数y=f(x)和y=|lgx|的图像,如图所示,可以看出交点有10个。由此可得方程有10个解。

专题2与指数、对数函数相关的抽象函数问题

6.☉%917#￥0*@%☉(2024·华师一附中高一检测)下列函数中,满意“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()。

A.f(x)=x3B.f(x)=3x

C.f(x)=x12D.f(x

答案：B

解析：把握和的函数值等于函数值的积的特征,其典型代表函数为指数函数,又所求函数为单调递增函数,故选B。

7.☉%62￥*9￥1#%☉(2024·巴东一中期中)定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满意对随意的实数x,y都有f(xy)=yf(x)。

(1)求f(1)的值;

答案：解:因为对随意的实数x,y都有f(xy)=yf(x),若令x=1,y=2,则有f(12)=2f(1),所以f(1)=0。

(2)若f120,求证:f(x)在(0,+∞)

答案：证明:对随意0x1x2,存在s,t使得x1=12s,x2=12t,且

所以f(x1)-f(x2)=f12s-f12t=(s-t)f120,即f(x1)f(x2),故函数f(x)

8.☉%541@@1#@%☉(2024·昆明三中月考)设函数f(x)满意fxy=f(x)-f(y)

(1)求证:f(1)=0;

答案：证明:令x=y=1,则f11=f(1)-f(1)=0,从而f(1)=0

(2)求证:f(xn)=nf(x)(n∈N)。

答案：因为f(xy)=fx1y=f(x)-f1y=f(x)-f(1)+f(y)=f(x)+f(y),所以f(xn)=f(x·x·x·…·x

9.☉%037￥￥￥2*%☉(2024·城固一中模拟)设函数f(x)的定义域是R,对于随意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)·f(n),且当x0时,0f(x)1。

(1)求证:f(0)=1,且当x0时,有f(x)1;

答案：证明:因为对随意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)·f(n),

令m=1,n=0,则f(1)=f(1)·f(0)。

因为当x0时,0f(x)1,所以f(0)=1。

设m=x0,n=-x0,所以f(0)=f(x)·f(-x),

所以f(x)=f(0)f

即当x0时,有f(x)1。

(2)推断f(x)在R上的单调性。

答案：解:取随意的x1,x2∈R,且x1x2,则x2-x10,所以0f(x2-x1)1。

由(1)知,f(x1)0,所以f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)·f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]0,即f(x2)f(x1),所以f(x)在R上单调递减。

专题3指数、对数函数中的分类探讨问题

10.☉%52##50@@%☉(2024·宁波调考)若函数y=log2ax2+(a-1)x+14a的定义域为R,则实数a的取值范围为。?

答案：1