2024_2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.4函数的应用一一课一练含解析新人教A版.docxVIP

PAGE

PAGE1

第三章函数的概念与性质

3.4函数的应用(一)

考点1一次、二次函数模型的应用

1.(2024·广东深圳中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应当每天从报社买进报纸()。

A.215份 B.350份

C.400份 D.520份

答案：C

解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,详细状况如下表:

数量/份

单价/元

金额/元

买进

30x

2

60x

卖出

20x+10×250

3

60x+7500

退回

10(x-250)

0.8

8x-2000

y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。

∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,

∴当x=400时,y取得最大值8700。

即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。故选C。

2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发觉,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满意一次函数:m=162-3x。若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。

A.40元/件 B.42元/件

C.54元/件 D.60元/件

答案：B

解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。

3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。

A.2000双 B.4000双

C.6000双 D.8000双

答案：D

解析：由5x+40000≤10x,得x≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。

4.一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25m时,交通灯由红变绿,汽车以1m/s2的加速度匀加速开走,那么()。

A.人可在7s内追上汽车

B.人可在10s内追上汽车

C.人追不上汽车,其间距最少为5m

D.人追不上汽车,其间距最少为7m

答案：D

解析：设汽车经过ts行驶的路程为sm,则s=12t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值7,

5.(2024·河北冀州中学高一期中)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元。又知总收入K是单位产品数Q的函数,且K(Q)=40Q-1

答案：2500

解析：L(Q)=40Q-120Q2-10Q-2000=-120Q2+30Q-2000=-120(Q-300)2+2500,当Q=300时,L(Q)取得最大值,

6.某化工厂准备投入一条新的生产线,但须要经环保部门审批后方可投入生产。已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=12n(n+1)(2n+1)吨,但假如年产量超过150吨,将会给环境造成危害。为爱护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_________

答案：7

解析：由题意知,第一年产量为a1=12×1×2×3=3;以后各年产量分别为an=f(n)-f(n-1)=12n(n+1)(2n+1)-12n·(n-1)(2n-1)=3n2(n∈N*,n≥2)。令3n2≤150,得2≤n≤52,又n∈N*,得2≤n≤7,

7.(2024·山东烟台一中高一月考)如图3-4-1所示,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,某炮位于坐标原点,已知炮弹放射后的轨迹在函数y=kx-120(1+k2)x2(k0)表示的曲线上,其中k与放射方向有关,

图3-4-1

(1)求炮的最大射程。

答案：令y=0,得kx-120(1+k2)x2

由实际意义和题设条件,知x0,k0,

故x=20k1+k2=20k

当且仅当k=1时取等号。所以炮的最大射程为10km。

(2)设在第一象限内有一飞行物(忽视其大小),其飞行高度为3.2km,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由。

答案：因为a0,所以炮弹可击中目标等价于存在k0,使3.2=ka-120(1+k2)a2成立,即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0

所以Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?a≤6。

所以当它的横坐标a不超过6km时,可击中目标。

8.已知A,B两城市