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鸡西市第一中学2024届第二学期高三期末数学试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设,是方程的两个不等实数根,记().下列两个命题()
①数列的任意一项都是正整数;
②数列存在某一项是5的倍数.
A.①正确,②错误 B.①错误,②正确
C.①②都正确 D.①②都错误
2.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则()
A.
B.
C.
D.
3.如果直线与圆相交,则点与圆C的位置关系是()
A.点M在圆C上 B.点M在圆C外
C.点M在圆C内 D.上述三种情况都有可能
4.已知在平面直角坐标系中,圆:与圆:交于,两点,若,则实数的值为()
A.1 B.2 C.-1 D.-2
5.“完全数”是一些特殊的自然数,它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28不在同一组的概率为()
A. B. C. D.
6.“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.设是虚数单位,则“复数为纯虚数”是“”的()
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充分不必要条件
8.将3个黑球3个白球和1个红球排成一排,各小球除了颜色以外其他属性均相同,则相同颜色的小球不相邻的排法共有()
A.14种 B.15种 C.16种 D.18种
9.已知全集,集合,,则()
A. B. C. D.
10.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完阄后,甲说:“我没抓到.”乙说:“丙抓到了.”丙说:“丁抓到了”丁说:“我没抓到.已知他们四人中只有一人说了真话,根据他们的说法,可以断定值班的人是()
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
11.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496,8128现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28恰好在同一组的概率为
A. B. C. D.
12.已知二次函数的部分图象如图所示,则函数的零点所在区间为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知为正实数,且,则的最小值为____________.
14.在中,内角的对边长分别为,已知,且,则_________.
15.数学家狄里克雷对数论,数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一.函数,称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:
①的值域为;
②;
③;
④
其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)
16.从集合中随机取一个元素,记为,从集合中随机取一个元素,记为,则的概率为_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)若曲线存在与轴垂直的切线,求的取值范围.
(2)当时,证明:.
18.(12分)在中,设、、分别为角、、的对边,记的面积为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的值.
19.(12分)从抛物线C:()外一点作该抛物线的两条切线PA、PB(切点分别为A、B),分别与x轴相交于C、D,若AB与y轴相交于点Q,点在抛物线C上,且(F为抛物线的焦点).
(1)求抛物线C的方程;
(2)①求证:四边形是平行四边形.
②四边形能否为矩形?若能,求出点Q的坐标;若不能,请说明理由.
20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点的直角坐标为,过的直线与曲线相交于,两点.
(1)若的斜率为2,求的极坐标方程和曲线的普通方程;
(2)求的值.
21.(12分)在△ABC中,角所对的边分别为向量,向量,且.
(1)求角的大小;
(2)求的最大值.
22.(10分)在中,角、、的对边分别为、、,且.
(1)若,,求的值;
(2)若,求的值.
参考答案
一、选择题:
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