北师大七年级下-第11讲-三角形的认识和图形全等 .pdfVIP

三角形的认识和图形全等

三角形的有关概念

由3条不在同一条直线上的线段，首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

三角形有3条边、3个顶点和3个内角．三角形的边和角称为三角形的基本元素．

如图，线段BC、CA、AB是三角形的边，也可以分别用表示；点A、B、C是三角形的顶点．∠A、∠B、

∠C是相邻两边所组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角．

三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．

三角形的分类

三角形按角可以分成如下三类：

三角形按边可以分成如下两类：

三角形的三边之间的关系

（1）三角形的任意两边之和大于第三边，

若三角形的三边为a，b，c，则a＋bc，b＋ca，c＋ab;

（2）三角形的任意两边之差小于第三边．

若三角形的三边为a，b，c，则a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b

（3）三角形的边的不等关系的应用和作用．

①判断三条线段a、b、c能否组成三角形，其判断方法有如下三种：

1°当a＋bc，b＋ca，c＋ab都成立，即三条边都小于其它两条边之和时，能组成三角形；

2°当|a－b|ca＋b时，即任意一条边大于其它两条边差的绝对值（即大边减小边），而小于其它两条边

之和，可以构成三角形；

3°当a最长，且有b＋ca时，即最大边小于其它两条边之和时可以构成三角形．

②确定三角形第三边的取值范围：

两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和

如果三角形已知两边分别为a、b，第三边为c，则|a－b|ca＋b

从而得到三角形的周长的取值范围，设ab，则2aa＋b＋c2(a＋b)

③说明线段的不等关系．

三角形的特殊线段

（1）三角形的角平分线

在三角形中，一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如

图，∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线．

一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这一点叫做三角形的内心．

（2）三角形的中线

在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线．如图，连接△ABC的顶点A和它所

对的边BC的中点E，所得线段AE叫做△ABC的边BC上的中线．

一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，它们相交于一点，这一点叫三角形的重心．

（3）三角形的高

在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称

三角形的高．如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为F．那么线段AF叫△ABC的边

BC上的高．

三角形有三条高，且它们(或它们的延长线)相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心.

注意：①锐角三角形的三条高，都在三角形的内部.

②直角三角形的三条高，有一条在三角形的内部，另外两条在三角形的边上.

③钝角三角形的三条高，有一条在三角形的内部，另外两条在三角形的外部.

典型例题讲解

例1、如图所示，图中三角形的个数共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：由三条线段首尾顺次相连得到图形为三角形，

所以图中三角形有△ABD，△ABC和△ADC，共有三个．答案：C

例2、有四根长度分别为10cm、6cm、5cm、3cm的钢条，以其中三根为边，焊接成一个三角框架，问此三角形框架的

周长可能是多少？

分析：在四根钢条中任选3根，也就是在4根中去掉1根，共有四种情况，分类讨论在每种情况下能否构成三角

形，即是否满足“三角形的任意两边之和大于第三边”.

解：

此三角形框架三边长有以下四种情况：

⑴当三线段长分别为6cm、5cm、3cm时，周长为14cm；

⑵当三线段长分别为10cm、5cm、3cm时，不能构成三角形；

⑶当三线段长别为10cm、6cm、3cm时，不能构成三角形；