微积分 第3版 课件 8第四节 幂级数的应用.ppt

上节的问题是幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数.现在的问题是反过来,如果f(x)可以展开成幂级数1.那么函数f(x)应当具有什么性质?8.4幂级数的应用8.4.1泰勒级数2.幂级数的系数怎样计算?

我们有由于幂级数在其收敛域内无穷次可导,即有任意阶的导数.因此,f(x)必然在此区间内有任意阶导数.将x=x0代入上面各式,即得

定理8.7如果函数f(x)在x0的某一邻域定理的结论称为幂级数展开式的唯一性.于是,就证明了如下定理.内可以展开成的幂级数,则

则称幂级数如果函数f(x)在点x0处任意次可微,为f(x)在点x0处的泰勒级数.为函数f(x)的麦克劳林级数.特别地,当x0=0时,称幂级数记为在x0的某一邻域成立,如果点的泰勒展开式.则称上式函数是f(x)在x0

定理8.17如果函数f(x)在x0的某一邻域内有任意阶的导数.则其中介于x与x0之间.的充分必要条件是证(1)是带拉格朗日余项的泰勒中值定理;(2)是收敛级数的定义.

1.直接展开法求函数f(x)的麦克劳林级数的步骤:(2)写出麦克劳林级数并求出收敛半径R;8.4.2函数展开成幂级数(3)验证是否有验证的方法有两种:余项分析与和函数分析(1)求出f(x)的各阶导数与它们在处的值,然后代入

从而判断是否有和函数分析是求出和函数余项分析是指,如果则有

解其收敛半径为例1将展开成x的幂级数.于是余项其中介于0与x之间.余项分析

对任一确定的是收敛级数的一般项.是确定的数,而所以在上恒有于是或于是

则且解微分方程得和函数分析

解因例2将展开成x的幂级数.故其收敛半径为

故因所以其中介于0与x之间.

利用已知函数展开式,2.间接展开法根据展开的唯一性,等方法,求展开式.通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分的结果是一致的.它与直接展开法得到

例3将展开成x的幂级数.

例4将展开为x的幂级数.解设利用有

练习将展开为x的幂级数.解而两边积分

解例5将展开为的幂级数.

f(x)=ln(1+x)在x=1处连续,且在x=1处收敛.

练习将解

解由8.4.3幂级数在数值计算中的应用例6计算的近似值，要求误差不超过.令得取前项的和作为的近似值

其误差为故取

解从而例7利用，求的近似值，并估计误差.在的幂级数展开式中令得

取它的前两项之和作为近似值，其误差为其误差不超过.因此取