量子力学课后习题答案.doc

第一章绪论

1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

，

及、得

，

令，再由，得.所满足的超越方程为

用图解法求得，即得，将数据代入求得

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求deBroglie波长.

解：

#

1.3.氦原子的动能为，求时氦原子的deBroglie波长。

解：

其中，

#

1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：

（1）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场，玻尔磁子，求动能的量子化间隔，并与及的热运动能量相比较。

解：（1）方法1：谐振子的能量

可以化为

的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为，相空间面积为

所以，能量

方法2：一维谐振子的运动方程为，其解为

速度为，动量为，则相积分为

，

，

（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由，得

再由量子化条件，以分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为

，，由此得半径为，。

电子的动能为

动能间隔为

热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为，所以当时，；当时，

1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？

解：转化条件为，其中为电子的静止质量，而，所以，即有

（电子的康普顿波长）。

第二章波函数和薛定谔方程

2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令

可见无关。

2.2由下列定态波函数计算几率流密度：

从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点)传播的球面波。

解：

在球坐标中

同向。表示向外传播的球面波。

可见，反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。

补充：设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？

∴波函数不能按方式归一化。

其相对位置几率分布函数为

表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3一粒子在一维势场

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：无关，是定态问题。其定态S—方程

在各区域的具体形式为

Ⅰ：①

Ⅱ：②

Ⅲ：③

由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须

即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为

令，得

其解为④

根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得

⑤

⑥

⑤

⑥

∴

由归一化条件

得

由

可见E是量子化的。

对应于的归一化的定态波函数为

2.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是

证：

由归一化，得

∴归一化常数

2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

解：

令，得

由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。

，可见是所求几率最大的位置。

2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为