微积分 第3版 课件 第九章　常微分方程.pptx

解第九章微分方程与差分方程9.1常微分方程的基本概念设所求曲线方程为所求曲线方程为例9.1用水管以每分钟的速度向长方形水池里注水，水池的底面积为.已知注水前水池里的水深为，求水深的表达式.

解则，第九章微分方程与差分方程9.1常微分方程的基本概念求不定积分得例9.1用水管以每分钟的速度向长方形水池里注水，水池的底面积为.已知注水前水池里的水深为，求水深的表达式.设为时刻水池里的水深，

解因例2验证是任意常数)是二阶微分方程的解.故,是原方程的解.

解将例3验证是任意常数)是微分方程的通解.代入方程,得恒等式所以,是原方程的解.又因中含有一个任意常数,原方程是一阶微分方程,因此是原方程的通解.

注:微分方程的通解不一定能包含所有的解.许多情况下,我们关心微分方程满足一定条件的解,例如,是方程的解,但它并不在通解当中.微分方程不含任意常数的解称为方程的特解.例如,都是方程的特解.这样的条件称为初始条件.

带有初始条件的微分方程问题称为初值问题或定解问题.例1的微分方程模型可以改写为:常微分方程分为线性微分方程和非线性微分方程.在n阶微分方程中形如的微分方程称为线性微分方程;为已知函数,其中

其它的都是非线性微分方程.都是线性微分方程,都是非线性微分方程.例如,而

例4试指出下列微分方程的阶数,并说明它们是线性的还是非线性的?解(1),(4),(6)为一阶微分方程;(2),(5)为二阶微分方程;(3)为三阶微分方程;其中(2),(3),(5),(6)是线性微分方程;(1),(4)是非线性微分方程.

的微分方程,称为可分离变量的微分方程.2.解法1.定义分离变量9.2.1可分离变量的微分方程9.2一阶微分方程或可化为形如

求得积分后,即得原微分方程的通解两端积分注意:如果则常函数也是方程的一个解.这样的解并没有包含在通解之中,称之为奇解.

解分离变量得两端积分得从而故原方程的通解为而也是方程的一个解.例1求微分方程的通解.

例2求微分方程的通解.解分离变量两端积分原方程的通解为?整理得从而化简得

解先求其通解,分离变量,得两端积分,得例3求解定解问题:整理得??原方程的通解为

注意:得特解得特解得于是所求定解问题的特解为

的一阶微分方程,称为齐次方程.1.定义9.2.2齐次方程例如,方程可化成是齐次方程.可化为形如

分离变量,得两端积分2.解法作变量代换代入原方程,得求得积分后再将代入,即得原方程的通解.化为可分离变量的方程.则

例4解方程解将方程改写成令于是上述方程化为即分离变量,得积分得原方程的通解为?则有

解原方程可化为是齐次方程.代入原方程得两端积分,得例5求微分方程的通解.

得原方程的通解为即将代入,

称为一阶线性非齐次微分方程.称为一阶线性齐次微分方程.9.2.3一阶线性微分方程1.定义未知函数及其导数都是一次的微分方程通常称方程(9-4)是方程(9-3)所对应的齐次方程．

齐次方程的通解为(1)先解线性齐次方程使用分离变量法2.解法积分,得

(2)再解线性非齐次方程设非齐次方程通解形式为