微积分 第3版 课件 第三章 导数与微分.ppt

例3.20求由方程确定的隐函数y解解得方程两边对x求导,的二阶导数将代入,得练习求方程所确定的隐函数y解解得方程两边对x求导,的导数练习设曲线C的方程为解方程两边对x求导,所求切线方程为显然通过原点.法线方程为法线通过原点.练习设解方程两边对x求导,方程(1)两边再对x求导,得得得代入代入观察函数求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:2.对数求导法:多个函数相乘和幂指函数的情形.方法:先在等式两边取对数,然后利用隐函数的例3.21求的导数.解等式两边取对数,得上式两边对x求导,练习设解等式两边取对数,得上式两边对x求导,例3.22求的导数.解等式两边取对数,得上式两边对x求导,练习设解等式两边取对数,得上式两边对x求导,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.3.3微分3.3.1微分的定义正方形面积定义3.3(微分定义)则称注意:对应的增量,增量时;就是切线纵坐标微分的几何意义当是曲线的纵坐标在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN.1.基本微分公式3.3.2微分的运算法则由导数的基本公式和求导法则立即得到微分特别地,特别地,基本公式和微分法则.2.函数四则运算的微分法则特别地,结论:无论x是自变量还是中间变量,一阶微分形式的不变性3.一阶微分的形式不变性的微分形式总是练习求的导数.解同理得即例3.9求的导数.解练习设解故3.2.2反函数的求导法则定理3.3设函数即:反函数的导数等于直接函数导数的倒数.内可导,且有证因为连续,于是,反函数的导数为例3.10求函数的导数.解同理可得即:因变量对自变量求导,等于因变量对中间变3.2.3复合函数的求导法则定理3.4若函数复合而成,量求导,乘以中间变量对自变量求导(链式法则)推广:解例3.11求函数的导数.则复合函数的导数为设解例3.13求函数的导数.解设例3.12求函数的导数.解练习求函数的导数.解因例3.14求函数的导数.即导数基本公式:特别地,特别地,注意:初等函数的导数仍为初等函数.说明:任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出;解练习求函数的导数.解练习求函数的导数.解例3.15求函数的导数.解解练习求函数的导数.练习求函数的导数.解解练习求函数的导数.练习求函数问题:变速直线运动的加速度.3.2.4高阶导数变化率,因加速度a是速度v对时间t的定义3.2若导数存在,的二阶导数,记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶导数的导数称为三阶导数,记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.求函数的高阶导数就是多次连续地对函数求规定:导数,仍应用前面所学的求导方法计算高阶导数．例3.16求下列函数的n阶导数反复求导有解(3)同理可得练习设解练习设解则练习设解高阶导数的运