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平均数引发的几点思考

平均数引发的几点思考

平均数引发的几点思考

平均数引发得几点思考

河南省上蔡第一和高级中学三（9)班田笑指导老师：田鲜丽

现代教育理念认为数学理解是教学得关键,在教与学中占据重要地位、学生在学习中要尽可能有一个概念得形成过程，从本质上领悟概念,把握概念得外延。不仅灵活地掌握知识和知识间得联系，还能培养自己得创造性、策略性地运用知识得能力。课堂上，教与学是统一得,教师得指导性具有战略性，学生得积极思维具有创新性，教学相长,永无止境、

现从平均数得教学与学习中个人引发几点思考：

生活中随处都有“平均”得存在。平均亩产,平均月收入,人均分数,平均增长率等等。什么是平均呢？平均是一个整体概念。如平均亩产就是把这块地得产量称出来除以这块地得亩数就是平均亩产。它不考虑这块地得每一亩得个个产量，而是从整体上把握这块地得亩产。平均数反映得是整体得一种属性。一组数得平均数从整体上反映这组数得多少。一组数得平均数不大于该组数中得最大数，不小于该组数中得最小数，它不取极端，而走中庸之道，能基本上代表该组数。

１、我们寻找这样一个数Ａ，使之与这组数中各数差得平方和最小,即A与该数组得偏差最小。为此引入目标函数f(x）=(ｘ－a1)２+(ｘ-ａ2)2＋……+（x—ａn）2,寻求函数ｆ(x）在x取何值时最小。f（x)取最小值时得x值就是我们寻求得数A。

∵f(x）=(x—a１)２+（x－a2)２+……+(x－an）2

＝ｎx2–2（ａ1+a2＋……+aｎ)x+ａ１2+a２2＋……+ａn２

＝ｎ(ｘ—）２＋ａ１２+a22+……＋an2—,

∴当x=时,f(ｘ）取得最小值。

∴A＝、

此时,A与数组ａ1,a2，……,an得偏差最小。因此，称A叫做数组a1，a2,……,aｎ得算术平均数。特殊地，两个正数a，ｂ得算术平均数A＝。

2、几何平均数是人们较早研究得另一种平均数。黄金分割数是特殊得几何平均数。黄金分割是指在线段AB上找一点Ｃ，使AＣ是AB与CＢ得等比中项，即AB∶AC=AC∶CB,AC２＝AB×CＢ,，设AＢ=a，ＣＢ=b,则AC=。数G=叫做正数a,b得几何平均数。（黄金分割数是特殊得几何平均数，黄金分割数要求b+G＝a，几何平均数中a，b，Ｇ不一定满足b+Ｇ=a。）

为什么G=叫做正数a，b得几何平均数？

首先易证min｛a,ｂ｝≤≤mａx{a，b}，即也不取两个极端、我们再从几何得角度寻找一条线段，使该线段得长是已知两线段得长得比例中项、以a+b为直径AB作圆,过a，ｂ得接点Ｃ作直径AB得垂线交圆于点D，易证CD＝，即为a,b得几何平均数。

从图形上看，线段CD得长介于AC与ＣB之间。

3、平均数得大小

定理1：两个正数得算术平均数不小于其几何平均数,即当ａ,b∈R+时，，当且仅当a＝b时取等号。

作为该定理，比较直观易懂，易证,从具体得正数入手，计算四个平均数并标在数轴上，由图猜想结论并做出证明、

我们运用重要不等式a，ｂ∈R时，a2+b2≥2aｂ，当且仅当a=b时取等号，然后将另两个平均数也放入不等式中，形成不等式链：平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。

定理2：当a，b∈Ｒ+时,,当且仅当a=b时取等号。

我们运用定理1证明余下得两个不等式。

对得证明，注重从形式上消除差异,左有“”，右无“”，因此左边得“内得数要合理添变形为完全平方数。

对于得证明,运用整体思想,消除形式上得差异，左有分母无根号,右无分母有根号,考虑倒数得倒数为原数得特点，结合已证定理解决问题、即、

4、由此发现不等式链得特点

1)当a=b时,不等式链发生突变，图形显示各数重合于一点，即各平均数相等(这在证明得过程中已有显示）。

２)该不等式链得一个显著特点是它们得次方全部相同。

3)定理存在一些变形,如,等、它们得次方也一致。

5、平均数大小得几何解释

1）教材中给出了算术平均数大于等于几何平均数得几何解释，即图形1中半径OD≥半弦ＣＤ、

很容易我们可以推出以下两种变形：

（1)去半圆得Rt△ABD，斜边上得中线OＤ≥

斜边上得高CD、

（2)添半圆还原为圆Ｏ，直径≥弦，即a+b≥2,

２)通过探究式发现如下几何解释：

由想到切割线定理，如图，割线ＡCB中，AC＝a,ＡＢ=b，则切线AT＝，过O作OD⊥ＡB于D,则AD=，∵OT≥OD(半径大于等于弦心距),AO＝AO，∴AD≥AT，即、

6、通过发散性思维得出如下拓展和延伸

1）定理得延伸:

（1）设a，b，c∈Ｒ＋,则，当且仅当a=b=c时取等号。

(2）设xi∈R+,i=１,2，…,ｎ,则,当且仅当x1=x2=…=xｎ时取等号。

2）概念得延伸：k次幂平均数：叫做正数ａ,b得k次幂平均数。

7、知识挖掘：如图1－7、以C为圆心，以CA为半径作圆,交ＣO或其延长线于点E,连接