2024-2025学年北师大实验高二数学上学期期中试卷附答案解析.docxVIP

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2024-2025学年北师大实验高二数学上学期期中试卷

本试卷共150分．考试时长120分钟．

第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.直线的倾斜角是，则斜率是（）

A. B. C. D.

2.已知点P在椭圆上，点，，则（）

A.2 B. C. D.

3.已知圆关于直线对称，则实数（）

A.－2 B.－1 C.1 D.2

4.以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为（）

A. B.

C. D.

5.已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（）

A.是一个半径为的圆 B.是一条与相交的直线

C.上的点到的距离均为 D.是两条平行直线

6.如图，三棱锥中，平面，，且ΔABC为边长等于2的正三角形，则与平面所成角的正弦值为

A. B. C. D.

7.点M是直线上的动点，O是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（）．

A.和B.和C.和D.和

8.“”是“椭圆的离心率为”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件

9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点P到平面QGC的距离是（）

A. B. C. D.1

10.如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（）

A.存点P满足

B.存在点P满足

C.满足的点P的轨迹长度为

D.满足的点P的轨迹长度为

第二部分（非选择题，共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11.椭圆的离心率是_________．

12.已知直线：，：．若，则实数m的值为______．

13.在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为______．

14.已知点P是圆上动点，直线：，：，记P到直线，的距离分别为，（若P在直线上，则记距离为0），

（1）的最大值为______；

（2）若当点P在圆上运动时，为定值，则m取值范围是______．

15.伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞士数学家伯努利（1654-1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积为定值的点的轨迹是双纽线．

在平面直角坐标系xOy中，到定点，的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，C的方程为，其形状类似于符号∞，若点是轨迹C上一点，给出下列四个结论：

①曲线C关于原点中心对称；

②恒成立；

③曲线C上任一点到原点的距离不超过；

④当时，取得最大值或最小值．

其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明、验算步骤或证明过程．

16.已知直线l：，．

（1）当直线l与直线垂直时，求的值；

（2）设直线l恒过定点P，求P的坐标；

（3）若对任意的实数，直线l与圆总有公共点，直接写出r的取值范围．

17.已知经过点，，并且圆心C在直线上，

（1）求的方程；

（2）设过点的直线l与交于M，N两点，若，求l的方程．

18.已知椭圆C：的左、右焦点分别为和，长轴长为4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆C上一点，．若存在实数使得，求的取值范围．

19.如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）.

（1）若为的中点，求证：平面.

（2）是否存在点，使得平面与平面所成角余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由.

20.平面直角坐标系xOy中，点M到点的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C．

（1）求轨迹C的方程；

（2）设斜率为k的直线l过定点，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围．

21.用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长为，宽为的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．

（1）求该直角圆形弯管的体积；

（2）已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；

（3）如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正