第11讲相似三角形中的“A”字模型.docx

第11讲：相似三角形中的“A”字模型

【应对方法与策略】

模型展示：

(1)如图1，DE∥BC?△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).

(2)如图2，∠AED＝∠B?△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).

(3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(CD,BC).

图1图2图3

【多题一解】

一、单选题

1．（2021·山东滨州·统考中考真题）在锐角中，分别以AB和AC为斜边向的外侧作等腰和等腰，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①，②，③，④，其中结论正确的个数为（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题

2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，，，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且于点M，连接AF、CE，求的最小值是_____．

3．（2021·福建厦门·福建省同安第一中学校考一模）如图，函数（为常数，）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若，则________．

4．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝__________．

5．（2022春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考阶段练习）如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为_______．

三、解答题

6．（2021秋·九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．

7．（2021·辽宁锦州·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，点D为圆上一点且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于点E，交CD于点F．

（1）判断CD与⊙O的位置关系；

（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．

8．（2020秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考阶段练习）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．

【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．

【定理应用】如图②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE=2BE，点F在边CB上，CF=2BF．O为AC的中点，连结EF、OE、OF．

（1）EF与AC的数量关系为__________．

（2）与的面积比为___________．

9．（2020·湖北武汉·统考二模）如图，AB是的直径，D为AB上一点，C为上一点，且，延长CD交于点E，连接CB．

（1）求证：；

（2）若，求的值．

10．（2020·江苏南京·统考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE

（1）求证：PC∥AE；

（2）若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．

11．（2020·陕西·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F．

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若AB＝10，BF＝，求AE的长．

12．（2020·湖北随州·统考模拟预测）如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．

（1）求证：AG与⊙O相切．

（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．

13．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图，在平行四边形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作交于点，连接，交于点.设运动时间为.解答下列问题：

（1）当为___________时，？

（2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式.

（3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？

（4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻