《数学（下册）（第二版）》 课件 第２章　导数与微分.pptx

导数与微分;目录;教学要求：

1.通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.

2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义；知道函数可导与连续的关系.

3.会利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数.

4.掌握复合函数的求导法，会求复合函数的导数.

5.掌握隐函数求导的方法，了解参数方程的求导法.

6.了解高阶导数的定义和二阶导数的力学意义，会求函数的二阶导数.

7.了解微分的定义及几何意义，会求函数的微分，能利用微分解决一些简单的近似计算问题.;1.1导数的概念;导数的概念

函数在某一点处的导数

设函数y＝f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处有增量Δx时，函数y有增量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），如果极限

存在，则称函数y＝f（x）在点x0处可导，并称此极限值为函数y＝f（x）在点x0处的导数，记作f′（x0）或或，即;如果上述极限不存在，则称函数y＝f（x）在点x0处不可导．

函数增量与自变量增量之比是函数在Δx区间上的平均变化率，而导数f′（x0）则是函数y＝f（x）在点x0处的瞬时变化率，它反映了函数y＝f（x）在点x0处变化的快慢程度．

根据导数的定义，实例考察中的两个实例用导数的概念可表述如下：

（1）变速直线运动的物体在时刻t0的瞬时速度，就是位移s＝s（t）在t0处对时间t的导数，即;（2）在直角坐标系中，曲线y＝f（x）在点A（x0，y0）处的切线斜率，就是纵坐标y＝f（x）在点x0处对横坐标x的导数，即

函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）也可表示为;函数在某一点处的左、右导数

若比值在点x0处的左极限存在，则称此极限值为f（x）在点x0处左导数，记为f′－（x0）．

若比值在点x0处的右极限存在，则称此极限值为f（x）在点x0处右导数，记为f′＋（x0）．

函数y＝f（x）在点x0处可导的充分必要条件是f（x）在该点的左、右导数都存在且相等．;函数的导数

如果函数y＝f（x）在开区间（a，b）??的每一点处都可导，则称函数y＝f（x）在（a，b）内可导．这时，对于（a，b）内的每一个确定的x，都对应着唯一确定的函数值f′（x），于是就确定了一个新的函数，这个新的函数称为函数y＝f（x）的导函数，简称导数，记作f′（x）或y′或，且

显然，函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）就是导数f′（x）在点x＝x0处的函数值，即;导数的几何意义

由切线问题的讨论及导数的定义可以知道，函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）在几何上表示曲线y＝f（x）在点A（x0，f（x0））处的切线的斜率，即

k＝tanα＝f′（x0）．;过切点A（x0，f（x0））且垂直于切线的直线称为曲线y＝f（x）在点A（x0，f（x0））处的法线．

如果f′（x0）存在，则曲线y＝f（x）在点A处的切线方程为

y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），

法线方程为;可导与连续的关系

定理如果函数y＝f（x）在点x0处可导，则函数y＝f（x）在点x0处连续．

证明函数y＝f（x）在点x0处可导，即存在，其中

Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），

得到

所以，函数y＝f（x）在点x0处连续．

值得注意的是，即使函数y＝f（x）在点x0处连续，函数y＝f（x）在点x0处也不一定可导．;2.2导数的运算法则;函数的和、差、积、商的求导法则

设函数u＝u（x）与v＝v（x）在点x处均可导．下面我们来考察它们的和y＝u（x）＋v（x）在点x处的导数．

当自变量在x处有增量Δx时，函数u＝u（x），v＝v（x）及y＝u（x）＋v（x）相应地分别有增量Δu，Δv，Δy．

因为

Δy＝[u（x＋Δx）＋v（x＋Δx）]－[u（x）＋v（x）]

＝[u（x＋Δx）－u（x）]＋[v（x＋Δx）－v（x）]

＝Δu＋Δv，;所以

由于函数u＝u（x）与v＝v（x）在点x处均可导，即

因此，有y′＝u′＋v′，这表明函数y＝u（x）＋v（x）在点x处也可导，即

（u＋v）′＝u′＋v′．

实际上，我们也可推出它们的差、积、商（当分母不等于0时）在点x处可导．;90;复合函数的求导法则