湖南省长沙市铁路第一中学2023-2024学年高三第二次质检数学试题.doc

湖南省长沙市铁路第一中学2023-2024学年高三第二次质检数学试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数满足，则的最大值为（）

A． B． C． D．6

2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（）

A． B． C． D．

3．设，满足约束条件，则的最大值是（）

A． B． C． D．

4．已知集合，则()

A． B．

C． D．

5．若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是()

A． B． C． D．

6．不等式的解集记为，有下面四个命题：；；；.其中的真命题是（）

A． B． C． D．

7．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（）．

A． B．

C．或 D．或

8．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是

A． B．的共轭复数为

C．的实部与虚部之和为1 D．在复平面内的对应点位于第一象限

9．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（）

A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．充分不必要条件

10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）

A． B． C． D．

11．如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（）

A． B． C． D．

12．数列满足：，则数列前项的和为

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知为椭圆上的一个动点，，，设直线和分别与直线交于，两点，若与的面积相等，则线段的长为______.

14．已知集合，则____________.

15．设，则______.

16．如图,已知，，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最小值是_____．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数，，

（1）讨论的单调性；

（2）若在定义域内有且仅有一个零点，且此时恒成立，求实数m的取值范围.

18．（12分）已知动点到定点的距离比到轴的距离多.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设，是轨迹在上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

19．（12分）已知函数.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若函数没有零点，求实数的取值范围.

20．（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称.

（1）求和的标准方程；

（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.

21．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面.

（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；

（2）求二面角的余弦值.

22．（10分）已知函数，直线是曲线在处的切线．

（1）求证：无论实数取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标；

（2）若直线经过点，试判断函数的零点个数并证明．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

设，，利用复数几何意义计算.

【详解】

设，由已知，，所以点在单位圆上，

而，表示点

到的距离，故.

故选：B.

【点睛】

本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式来解决.

2、C

【解析】

根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥，并且平面SAC平面ABC，，过S作，连接BD，，再求得其它的棱长比较下结论.

【详解】

如图所示：

由三视图得：该几何体是一个三棱锥，且平面SAC平面ABC，，

过S作，连接BD，则，

所以，，，，

该几何体中的最长棱长为.

故选：C

【点睛】

本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

3、D

【解析】

作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值．

【详解】

作出不等式组的可行域，