2024_2025学年新教材高中数学第三章指数运算与指数函数3.3指数函数3.3.2指数函数的性质一.docxVIP

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第三章指数运算与指数函数

§3指数函数

课时2指数函数的性质

学问点单调性与奇偶性

1.☉%#*#2@164%☉(2024·岳阳县一中月考)函数f(x)=πx与g(x)=1πx的图像关于(

A.原点对称B.x轴对称

C.y轴对称D.直线y=-x对称

答案：C

解析：设点(x,y)为函数f(x)=πx的图像上随意一点,则点(-x,y)为g(x)=π-x=1πx的图像上的点。因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数f(x)=πx与g(x)=1πx的图像关于y轴对称

2.☉%19#￥9#￥3%☉(2024·扬州中学月考)若函数f(x)=(2a-1)x是R上的减函数,则实数a的取值范围是()。

A.(0,1)B.(1,+∞)

C.12,1

答案：C

解析：由已知,得02a-11,则12a1,所以实数a的取值范围是12,

3.☉%*@#￥0511%☉(2024·武汉模拟)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满意f(x)+g(x)=ex,则g(x)=()。

A.ex-e-xB.12(ex+e-x

C.12(e-x-ex)D.12(ex-e-

答案：D

解析：由f(x)+g(x)=ex,可得f(-x)+g(-x)=e-x,

由f(x)与g(x)的奇偶性,可得f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e-x。

所以f(x)-g(x)-[f(x)+g(x)]=e-x-ex,

整理得-2g(x)=e-x-ex,即g(x)=12(ex-e-x)。故选D

4.☉%82***90￥%☉(2024·湖南试验中学期中)设f(x)=12|x|,x∈R,则f(x)是

A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数

B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数

C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数

D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数

答案：D

解析：依题意,得f(-x)=12|-x|=12|x|=f(x),所以f(x)是偶函数。当x0时,f(x

5.☉%*905@2@*%☉(2024·兰州一中期末)若122a+1123-2

A.(1,+∞)B.1

C.(-∞,1)D.-

答案：B

解析：因为函数y=12x在R上为减函数,所以2a+13-2a,解得a12,

6.☉%1*2*6*7#%☉(2024·黑龙江、吉林两省八校高一联考)若f(x)=ax,x1,4-a2x

A.(1,+∞)B.(4,8)

C.[4,8)D.(1,8)

答案：C

解析：因为f(x)是R上的单调递增函数,所以f1(x)=ax单调递增,f2(x)=4-a2x+2单调递增,则a1,4-a2

7.☉%*7*#976@%☉(2024·江西吉安一中月考)已知x,y∈R,且2-x+3-y2y+3x,则下列各式中正确的是()。

A.x-y0B.x+y0

C.x-y0D.x+y0

答案：B

解析：若x+y0,则x-y,y-x。因为指数函数y=2x,y=3x在R上单调递增,所以3x3-y,2y2-x。两式相加,得3x+2y2-x+3-y,与题意相符,因此x+y0满意条件,故选B。

8.☉%4**@2*68%☉(2024·河南八市第一次联考)已知定义域为R的函数f(x)=-2x

(1)求b的值;

答案：解:因为f(x)是R上的奇函数,

所以f(0)=0。所以b-14=0,所以

经检验,b=1满意f(x)是奇函数,所以b=1。

(2)推断函数f(x)的单调性;

答案：f(x)=1-2x2x

因为y=2x在R上是单调递增,所以f(x)在R上单调递减。

(3)若对于随意x∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求实数k的取值范围。

答案：因为f(x)是R上的奇函数,且在R上单调递减,

所以f(t2-2t)f(k-2t2)。所以t2-2tk-2t2。

所以k3t2-2t对一切t∈R恒成立。

因为3t2-2t=3t-132-13≥-13

题型1指数函数性质的简洁应用

9.☉%@7*10#8*%☉(2024·济南统考)已知指数函数f(x)的图像经过点-32,39,则f(3.14)与f

答案：f(3.14)f(π)

解析：因为f(x)是指数函数,所以可设f(x)=ax(a0,a≠1),由已知,得f-32=39,a-32=39=3-32,即a=3,所以f(x)=3x。因为3

10.☉%*892*8*#%☉(2024·鄂东南联盟考试)函数f(x)=2x的图像与函数g(x)=ax的图像关于y轴对称,则实数a的值为。?

答案：12

解析：因为函数y=ax(a0,a≠1)的图像与y=1ax=a-x的图像关于y轴对称,所以a=

11.☉%5*4@*9￥8%☉(2024·九江一中月考)已知(a2+a+