2024_2025学年新教材高中数学第一章预备知识1.2常用逻辑用语1.2.1必要条件与充分条件一课.docxVIP

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第一章预备学问

§2常用逻辑用语

2.1必要条件与充分条件

学问点1充分条件与必要条件

1.☉%￥61@80￥#%☉(多选)(2024·通钢一中检测)下列命题中,真命题是()。

A.“x20”是“x0”的必要条件

B.“xy=0”是“x=0”的必要条件

C.“|a|=|b|”是“a=b”的充分条件

D.“|x|1”是“x2不小于1”的必要条件

答案：AB

解析：

2.☉%8￥03@*￥8%☉(2024·山东东营一中月考)用“充分条件”和“必要条件”填空。

(1)“xy=1”是“x=y=1”的。?

答案：必要条件

解析：∵x=y=1?xy=1。

(2)“△ABC△ABC”是“△ABC△ABC”的。?

答案：充分条件

解析：三角形全等能推导出三角形相像。

(3)“0x5”是“|x-2|4”的。?

答案：充分条件

解析：∵|x-2|4,∴-4x-24,解得-2x6。用数轴表示不等式(如图)可以看出,0x5?-2x6。即“0x5”是“|x-2|4”的充分条件。

3.☉%*2@3￥46@%☉(2024·云南曲靖一中周练)指出下列各组命题中p是q的什么条件。(充分不必要条件,必要不充分条件,既不充分也不必要条件)

(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除;

答案：

(2)p:x1,q:x21;

答案：

(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;

答案：

(4)p:|a·b|=a·b,q:a·b0。

答案：

学问点2充要条件

4.☉%@@0*713*%☉(2024·武汉二中月考)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A?B”的()。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案：C

解析：若A∩B=A,则对随意x∈A,x∈(A∩B),又(A∩B)?B,则x∈B,所以A?B,充分性得证;若A?B,则对随意x∈A,有x∈B,从而x∈(A∩B),反之若x∈(A∩B),则x∈A,因此A∩B=A,必要性得证。因此为充要条件。故选C。

5.☉%@@0*87#7%☉(2024·绍兴一中月考)设集合A={x|x-1},B={x||x|≥1},则“x∈A且x?B”成立的充要条件是()。

A.-1x≤1 B.x≤1

C.x-1 D.-1x1

答案：D

解析：由题意可知,x∈A?x-1,x?B?-1x1,所以“x∈A且x?B”成立的充要条件是-1x1。故选D。

6.☉%5@￥*53*7%☉(2024·济宁一中期中)命题p:x0,y0,命题q:xy,1x1y,则p是q

答案：解:由x0,y0?xy,1x1y,所以p是q

由xy,1x1y?y-xxy

所以xy0,即x,y异号,又xy,所以x0,y0,所以p是q的必要条件。

综上,p是q的充要条件。

7.☉%￥92￥61@@%☉(2024·长沙一中月考)推断下列各题中p是q的什么条件。

(1)p:|x|=|y|,q:x=y;

答案：解:∵|x|=|y|不能推出x=y,但x=y?|x|=|y|,∴p是q的必要不充分条件。

(2)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形;

答案：∵△ABC是直角三角形不能推出△ABC是等腰三角形,

△ABC是等腰三角形也不能推出△ABC是直角三角形,

∴p是q的既不充分也不必要条件。

(3)p:四边形的对角线相互平分,q:四边形是矩形。

答案：∵四边形的对角线相互平分不能推出四边形是矩形,

四边形是矩形能推出四边形的对角线相互平分,

∴p是q的必要不充分条件。

题型1利用定义法推断充要关系

8.☉%#62￥*3#6%☉(2024·桂林中学月考)条件“a2”是“a22”成立的()条件。

A.必要不充分 B.充分不必要

C.充要 D.既不充分也不必要

答案：B

解析：由a22解得a2或a-2,则“a2”可推得“a22”,反之不成立,故“a2”是“a22”成立的充分不必要条件。故选B。

9.☉%*601@@#7%☉(2024·黄冈中学月考)x∈R,则“x=-1”是“x2-5x-6=0”的()条件。

A.充要 B.充分不必要

C.必要而不充分 D.既不充分也不必要

答案：B

解析：x2-5x-6=0,可化为(x+1)(x-6)=0,

解得x=6或x=-1。

∴“x=-1”?“x=6或x=-1”,而反之不成立。

∴“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件。

故选B。

10.☉%0￥￥48￥*5%☉(2024·武汉中学检测)设a,b∈R,则“ab”是“a2b2”的()。

A.充要条件 B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件 D.必要不充分条件

答案：B

解析：若a=1,b=-4,满意ab,但a2=1,b2=16,此时a2