2024_2025学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何阶段提升课第一课空间向量与立体几何学案含.docVIP

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阶段提升课第一课空间向量与立体几何

思维导图·构建网络

考点整合·素养提升

题组训练一空间向量的运算

1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，则x＝()

A．(0，3，－6)B．(0，6，－20)

C．(0，6，－6)D．(6，6，－6)

【解析】选B.由b＝eq\f(1,2)x－2a得x＝4a＋2b，

又4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0，6，－20)，

所以x＝(0，6，－20).

2．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M在AC上，且AM＝eq\f(1,2)MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND.设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA1＝c，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝()

A.－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)cB．a＋eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)c

C．eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)cD．－eq\f(1,3)a＋b＋eq\f(1,3)c

【解析】选A.因为点M在AC上，且AM＝eq\f(1,2)MC，点N在A1D上，且A1N＝2ND，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，A1N＝eq\f(2,3)A1D．

又ABCD-A1B1C1D1为平行六面体，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AA1＝c，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，A1D＝b－c，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋AA1＋A1N＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋AA1＋eq\f(2,3)A1D＝－eq\f(1,3)(a＋b)＋c＋eq\f(2,3)(b－c)＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.

3．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.

(1)求向量a，b，c；

(2)求a＋c与b＋c所成角的余弦值.

【解析】(1)因为向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c，

所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,1)＝\f(1,y)＝\f(2,－2)，,3＋y－2z＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，,z＝1，))

所以向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1).

(2)因为a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)，

所以(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，

|a＋c|＝eq\r(22＋22＋32)＝eq\r(17)，|b＋c|＝eq\r(42＋02＋（－1）2)＝eq\r(17)，

所以a＋c与b＋c所成角的余弦值为eq\f(（a＋c）·（b＋c）,|a＋c||b＋c|)＝eq\f(5,17).

空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件

(1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面对量的性质是一样的．

(2)利用向量共面的充要条件可以推断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特殊地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).

题组训练二空间向量与线面位置关系

1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()

A.当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD

B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD

C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD

D．不存在DQ与平面A1BD垂直

【解析】选D.以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，

则由