微积分 第3版 课件 4第二节 微分中值定理.ppt

定理4.2(费尔马引理)4.2微分中值定理内的最大值或最小值,证不妨设设是在点的某邻域

有根据函数的可导条件及极限的保号性,有所以,

的点称为函数的驻点.且曲线在该点有切线,如果在[a,b]上连续,则在[a,b]上一定有最大值和最小值.最大、最小值点只可能是驻点、不可导点或区间的端点.

定理4.3(罗尔定理)(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)使得证若函数f(x)满足:必有最大值M和最小值m.

由费尔马引理推论4.1可微函数的任意两个零点之间至少有的一个零点．

例4.13证明是方程的唯一实根.证矛盾.由罗尔定理,原命题得证.使得

在[0,1]上二阶可导,且则在内至少存在一点练习若证使得使得上使用罗尔定理,使得使用罗尔定理,

常用的构造辅助函数的方法：常数k法基本思路是令待证等式中的常数为k，通过恒等变形将含有的式子写成的形式，然后用罗尔定理则就是需要的辅助函数,进行证明.

例4.14设分析证令罗尔定理,整理得使得故即

定理4.4(拉格朗日中值定理)(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;使得若函数f(x)满足:

几何解释:分析:在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AB.

证作辅助函数拉格朗日中值公式即或故

就可以同时得到两个不等式有限增量公式应用：不等式的证明

例4.15证明不等式证由拉格朗日中值定理,存在使得由得到

例4.16如果证不妨设

例4.17证明当证而故

练习证明当证而故