微积分 第3版 课件 8第三节 幂级数.ppt

形如8.3.1幂级数及其收敛性称为x的幂级数.称为幂级数的系数.简称幂级数.的函数项级数,称为的幂级数,8.3幂级数所有发散点的全体称为发散域.函数项级数的所有收敛点的全体，称为收敛域,发散点.定义如果数项级数收敛,则称为级数的收敛点,否则,称为设幂级数的部分和为余项(x在收敛域上)(x∈D)定义在收敛域D上,幂级数的和是x的函数称为函数项级数的和函数.则是公比为x的几何级数,在收敛域内,其和函数是发散域为其收敛域为同理例如,级数设则考察幂级数则级数在绝对收敛；则当时，级数绝对收敛，当时，级数发散；则对于任意，级数都发散.即在的条件下，幂级数的收敛性只有三种情况：(1)在都收敛；(2)在某个区间收敛,而在发散;(3)只在一点收敛.一般地，如果幂级数在收敛,在上发散,则称为幂级数的收敛半径，称为收敛区间.特别地，如果，则例1求幂级数的收敛半径与收敛域.解故发散;故收敛域为收敛.解例2求幂级数的收敛半径与收敛域.收敛域为解仅在x=0收敛.例3求幂级数的收敛半径与收敛域.所以,收敛半径为解练习求幂级数的收敛半径与收敛域.原级数的一般项不趋于零,收敛域为级数发散.8.3.2幂级数的性质及幂级数的和函数的收敛半径分别为R1和R2,取其中性质2和函数且逐项求导后收敛半径不变.并有逐项求导公式性质1和函数在收敛域上连续.设性质3和函数有逐项积分公式逐项积分后收敛半径不变.若注:幂级数逐项微分与逐项积分后收敛半径不变,但是收敛域可能不同.解例4求幂级数的和函数.解例5求幂级数的和函数.解例6求的收敛域及和函数，并求数项级数的和.幂级数的收敛域为.则故练习求的收敛域与和函数.解令收敛域为当时,收敛,当时,收敛,和函数为可得设