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第2章傅里叶变换

本书介绍两种积分变换：傅里叶变换和拉普拉斯变换。

本章的内容是傅里叶变换，首先在复指数傅里叶级数里

介绍了正交函数、标准正交基等基本概念，然后对傅里叶变

换的性质、卷积定理作了详细的讨论。

本章以相当大的篇幅介绍了现代工程技术中经常出现的

函数。尽管傅里叶变换的应用很广，但是限于课时的限制，

这里对积分变换只侧重于它的基本性质和解微分方程、偏微

分方程所需要的内容。

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第2章傅里叶变换

§2.1函数空间及函数展开

§2.2傅里叶积分与傅里叶变换

§2.3阶跃函数与d函数的傅里叶变换

§2.4傅里叶变换的性质

§2.5函数的卷积与傅里叶变换的卷积定理

§2.6复值函数的傅里叶变换

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2.1函数空间及函数展开

§2.1.1函数的内积

§2.1.2平方可积函数空间与函数展开

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2.1.1函数的内积

有些场合希望有一个简单周期函数组合来表达函数的周期

特性，这样更容易了解函数在每个周期内的性质。实傅里叶级数





fxancosnxbnsinnx

n0

就表达了函数在每个周期内的相位，每个频率的分量等性质。

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2.1.1函数的内积

三维实向量：设A(a,a,a)R3，B(b,b,b)R3，则

xyzxyz

向量的内积：ABabababBTA

xxyyzz

向量的长度（模）：||A||AAa2a2a2（2.1.1）

xyz

向量的夹角：cos(AB)(||A||||B||)（2.1.2）

向量的投影：（到上的投影）

PB(AB)||A||BA

rjA

n维实向量：设X(x,x,,x)Rn，Y(y,y