数学物理方法 课件 第1章复变函数引论.pdf

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教材与参考书目

教材

《数学物理方法》（第3版），

黄志祥、柯导明等，

机械工业出版社，2024年.

参考书目

复变函数与积分变换（第5版），李红等，高等教育出版社，2018年.

数学物理方程与特殊函数（第5版），王元明，高等教育出版社，2019年.

数学物理方法习题全解，柯导明，中国科学技术大学出版社，2011年.

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教材目录

第1章复变函数引论

第2章傅里叶变换

第3章拉普拉斯变换

第4章用分离变量法求解偏微分方程

第5章二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数

第6章柱面坐标中的偏微分方程解法

第7章球面坐标中的偏微分方程解法

第8章无界区域的定解问题

第9章格林函数法求解数理方程

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第1章复变函数引论

本章对复变函数作了概论式的介绍。

首先在1.1中对高中所学过的复数作了简单的回顾和拓展，

介绍了复变函数概念、复幂级数、复变函数的极限和连续性；

接着在1.2讨论了初等复变函数、反函数；

然后在1.3和1.4中引入复变函数的分析运算，即导数和积分

运算，重点放在解析函数的求导方法与积分求解；

从1.5开始讨论复变函数的级数，包括如何将复变函数展开

成幂级数、罗朗级数，并且引入了留数的概念。

本章内容是针对如何将复变函数应用到工程和物理问题中

而写的，省略了复变函数中的很多精彩内容，为了叙述的简洁

和连续，对部分定理和结论的证明过程作了简化。对这方面有

兴趣的读者，可以进一步阅读复变函数的专著。

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第1章复变函数引论

§1.1复数与复变函数

§1.2初等复变函数与反函数

§1.3复变函数的导数与解析函数

§1.4复变函数的积分

§1.5解析函数的高阶导数和泰勒级数

§1.6罗朗级数与留数

§1.7留数在定积分中的应用

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1.1复数与复变函数

§1.1.1复数表示法

§1.1.2复数的运算规则

§1.1.3复变函数的概念

§1.1.4复多项式与复变函数的幂级数

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1.1.1复数表示法

zxjyj1xy

复数定义：为复数，其中是虚数单位，和都是实数。

xzxRezyZyImz

是复数的实部，记为；是复数的虚部，记为。

x0，；称。

当时zjy称为纯虚数zxjy是xjy的共轭复数

相等定义：两个复数只有它们的实部、虚部分别相等时才相等。

复数的向量表示法：图1.1的复