高等数学(上册)教案18 换元积分法(1).docx

第4章不定积分

第一类换元积分法

【教学目的】:

1.理解第一类换元积分法；

2.会用第一类换元积分法计算不定积分。

【教学重点】:

1.用第一类换元积分法计算不定积分。

【教学难点】:1.凑微分技巧。

【教学时数】:2学时【教学过程】:

4.2.1第一类换元积分法

我们先看这样一个例子，求不定积分,因为被积函数e2×是x的复合函数，基本积分公式中没有这种公式，但我们可以把原积分变形，化成某个基本积分公式的形式：

(令2x=u)

(将2x=u代回)

因为,所确为e2x的原函数，说明上述解法正确.

于是有下述定理：

定理1(第一类换元积分法)设函数u=φ(x)在所讨论的区间上可微，又设

则有

第一类换元积分法的解题步骤：

设要求,如果被积函数g(x)可化为g(x)=f[φ(x)]·φ(x)的形式，则

注第一换元积分法的关键是如何选取φ(x),并将φ(x)dx凑成微分dφ(x)的形式，因此，第一换元积分法又称为“凑微分”法.

(1)利用;),a、b均为常数，且a≠0凑微分.例1求

解令u=2x+1,则du=2dx,即,所以

再将u=2x+1代入上式，得

熟练之后，可以省略设φ(x)=u这一步，直接进行凑微分.

(2)利用,

(2)利用

,

sinxdx=-dcosx,cosxdx=dsinx,sec2xdx=dtanx,csc2xdx=-dcotx,

例5求

解

(3)利用三角函数恒等式来凑微分.

例7求

当被积函数是三角函数，而且次数为奇次时，通常把被积函数分为一个偶次和一个奇次相乘的形式，然后再利用凑微分进行积分.

例8解

当被积函数是三角函数，而且次数为偶次时，通常利用降幂公式

对被积函数进行降幂，然后再利用凑;

对被积函数进行降幂，然后再利用凑

;

微分进行积分.

:例10求

:

解方法一

方法二

方法三

在例10中，三种解法的原函数仅差一个常数，都包含到任意常数C中，由此可见，在不定积分中，任意常数是不可缺少的.

【教学小节】:

本节为不定积分计算的基础。通过本节的学习，掌握使用第一类换元积分法计算不定积分，并借此进一步熟悉基本积分公式。

【课后作业】:无