微积分 第3版 课件 第四章 导数的应用.pptx

不能直接用极限的四则运算法则求解的极限问题;方法:;定理4.1(型的洛必达法则);定理4.1(型的洛必达法则);例4.1求;练习求;练习求;练习求;例4.3求;例4.4求;例4.5求;例4.8求;例4.9求;练习求;;练习求;定理4.2(费尔马引理);有;的点称为函数的驻点.;定理4.3(罗尔定理);由费尔马引理;例4.13证明是方程的唯一实根.;在[0,1]上二阶可导,且;常用的构造辅助函数的方法：;例4.14设;定理4.4(拉格朗日中值定理);;证作辅助函数;就可以同时得到两个不等式;例4.15证明不等式;例4.16如果;例4.17证明当;练习证明当;定理4.5设函数;证明;解;解;函数的单调区间求法:;解;解;单调性是证明函数不等式的一个有效方法.;练习证明当;即(1)式成立.;;定义4.1;定理4.6(极值的必要条件);设函数在x0处连续,;;求函数极值的基本步骤:;;定理4.8(极值的第二充分条件);解;求函数最大值与最小值的一般步骤:;例4.24求函数在[-1,4]上的最大;例4.25欲建造一个粮仓,粮仓内部的下半部分为圆柱;代入上式得;例4.26铁路线上段的距离为工厂距;则;故时,;;圆柱体的最大体积一定存在,;4.4.1曲线的凹凸性及拐点;右图中的曲线弧是向上凸的,;恒有;如果单调递增,;定理4.9设;解;解;定理4.10(拐点的第一充分条件);;练习证明;1.垂直渐近线(垂直于x轴的渐近线);例如;2.水平渐近线(平行于x轴的渐近线);3.斜渐近线;注意:;所以,是曲线的垂直渐近线.;(1)确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.;例4.33描绘函数的图形.;;作图;练习描绘函数的图形.;;作图;定理4.11(柯西中值定理);证;则;不妨设;练习设函数;4.5.2泰勒公式;式(4-2)可理解为:;由存在且;设存在,则;连续使用(n-1)次洛必达法则,有;(4-4)式可写成;定理4.13(泰勒中值定理);证利用柯西中值定理证明;因此;如果公式(4-5)变成;而;解因;估计误差;解因;解;常用函数的麦克劳林公式;解因;解因;例4.38证明不等式;例4.39近似计算的值，并估计误差.;第三章导数的应用习题课;在上连续,在内可导,且;分析:只要??存在;例4若;证;例6若函数;(1)–(2),注意到;例7设函数;证;;证原命题等价于:;一、求下列极限：;证令;三、选择题：