《2 易拉罐的设计》（同步训练）高中数学选择性必修第三册_沪教版_2024-2025学年.docxVIP

《2易拉罐的设计》同步训练(答案在后面)

一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1、易拉罐设计中，为了降低材料使用并保证产品的强度，通常采用哪种形状的截面？

A.正方形

B.圆形

C.三角形

D.椭圆形

2、易拉罐的侧面积为18π平方厘米，底面半径为Club厘米，则此易拉罐的高为（）

A.3Club厘米

B.2Club厘米

C.Club厘米

D.2πClub厘米

3、一个圆柱形容器的底面半径为r，高为h，若容器的体积V是底面积S的3倍，即V=3S，则底面半径r与高h的关系可以表示为（）

A.h=3r

B.h=r/3

C.h=√(3r)

D.h=√(r/3)

4、一个底面半径为r的圆柱形易拉罐，其侧面展开为一个矩形。若要使易拉罐的材料使用量最少，其高h应满足什么条件？设r=1，则

A.2

B.π

C.2

D.1

5、易拉罐的设计中，若要在保持体积不变的前提下，将圆柱形容易拉罐的侧面积减少到最小，则其底面圆的半径r与高h之间的关系是（）

A.r=√(2h)

B.r=h/√2

C.r=√(h/2)

D.r=√(h/π)

6、易拉罐的设计中，若要使罐体材料最省，罐体的高度与半径之比应为（??）

A、2：1

B、3：1

C、1：2

D、4：3

7、一个易拉罐设计为圆柱形，为了减少材料使用并保持容积不变，当其高与底面半径之比为下列哪个数值时，可以使得易拉罐的表面积达到最小值？

A、1:1

B、2:1

C、3:1

D、4:1

8、一个圆柱形容器的底部直径为10cm，要求容器的最大容积不超过3600cm3，为了简化加工，侧面沿直径剪开并沿展开图折叠。在材料不变的情况下，设计出该容器的高度（h）与底面半径（r）之间的关系。

A.h

B.h

C.h

D.h

二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）

1、一个易拉罐的侧面展开后是一个矩形，若易拉罐的底面直径为d，高度为h，则该矩形的面积为：

A.π

B.2

C.2

D.4

2、某工厂要设计一个易拉罐的形状，其表面积固定，为了使容器的容积最大，以下哪种设计可能是正确的？

A、底面半径为10cm，高为20cm

B、底面半径为5cm，高为40cm

C、底面半径为8cm，高为25cm

D、底面半径为6cm，高为30cm

答案解析：

首先，我们设易拉罐的底面半径为r，高为h，那么易拉罐的表面积S固定，可以表示为：

S

为了使容积V最大，V可以表示为：

V

我们需要找到使V最大的情况下底面半径r与高h的关系。为了解这个问题，我们可以通过将h表示为S和r的函数来实现。从表面积公式中可以得到：

h

将h代入容积V的公式中，得到：

V

为了找V的最大值，我们可以对r求导：

V

设置导数为0，得到：

这意味着，当底面半径和高的比值固定为S4

通过这一理论，我们可以分析每个选项，计算底面半径和高的比值。

A、底面半径为10cm，高为20cm，比值为1020

B、底面半径为5cm，高为40cm，比值为540

C、底面半径为8cm，高为25cm，比值为825

D、底面半径为6cm，高为30cm，比值为630

根据以上比值可以观察到，选项A的比值最接近S4

3、若易拉罐的侧面展开为扇形，弧长为L，周长为C，底面半径为r，则下列等式成立的有（）

A.L=2πr

B.C=2πr+L

C.易拉罐盒壁的厚度与底面半径r有关

D.易拉罐盒壁的厚度与弧长L有关

三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

1、一个圆柱形易拉罐的底面半径为r=0.5cm，高为h

2、某易拉罐的侧面积与底面半径的乘积是定值60π，当易拉罐的高度最小时，其底面半径为______。

3、易拉罐的设计中，假设易拉罐的侧面展开后是一个矩形，其中矩形的宽是底面周长的

1

，那么易拉罐的侧面面积与底面面积的比是______。

四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）

第一题

某工厂设计一种新型易拉罐，其底面半径为r（r0），高为h（h0），且底面周长与高的比为3:4。若该易拉罐的表面积为S（单位：平方厘米），求S关于r的函数关系式，并求出其最大值。

第二题

题目：

易拉罐设计团队正在研究一种新型易拉罐的最优形状，以减少材料使用，降低成本，同时保持罐子的容量不变。他们选择了标准规格的250毫升易拉罐作为研究对象。已知易拉罐的内部体积为250毫升（即0.25立方分米），壁厚可忽略不计，且易拉罐由半球形顶部、圆柱体侧壁和半球形底部组成。假设制造易拉罐的成本与材料的表面积成正比，且已知半球形的表面积是圆柱体底部表面积的两倍。

问：

1.设圆柱体的半径为r，高度为h，半球形的半径也为r，求出r和h之间的关系。

2.求