相似三角形常用辅助线.ppt

1、如图，AD是∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：ED2=EB·ECFABCED第32页,共57页，星期六，2024年，5月2、如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(ABAE),求证：?AEF∽?ECFECDBAF第33页,共57页，星期六，2024年，5月2、已知，在?ABC中，若AB=BC,∠B=90o,AD为BC边的中线，过B作直线BP⊥AD于P交AC于E，求证：AE=2EC;∠AEB=∠CED.DABCE第34页,共57页，星期六，2024年，5月二、作垂线3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：第35页,共57页，星期六，2024年，5月证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N∴∽∴∴（1）∽∴∴（2）又∴AN=CM又（1）+（2）∴第36页,共57页，星期六，2024年，5月2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：第37页,共57页，星期六，2024年，5月2、证明：过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形∴PFEC∵∴∽∴∵EC=PF∴（1）在和中：CP⊥MN于Q∴又∵∴∴∽∴即由（1）（2）得（2）第38页,共57页，星期六，2024年，5月三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。第39页,共57页，星期六，2024年，5月解：延长BA、CD交于点P∵CH⊥AB，CD平分∠BCD∴CB=CP，且BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC第40页,共57页，星期六，2024年，5月例6.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF第41页,共57页，星期六，2024年，5月解析：欲证式即由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H则又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFB∴FG·FH=CF·BF∵FG=FH∴FG2=CF·BF第42页,共57页，星期六，2024年，5月四、作中线例7如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。第43页,共57页，星期六，2024年，5月解：取BC的中点M，连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC∴∴∽∴又DC=1MC=BC∴（1）又∽又∵EC=1∴由（1）（2）得，∴（2）∴小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键第44页,共57页，星期六，2024年，5月3、理由？（用三种解法）第45页,共57页，星期六，2024年，5月方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。第46页,共57页，星期六，2024年，5月方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC在△BED与△BCD中，第47页,共57页，星期六，2024年，5月方法三：如图（3），过B作BE⊥BC于B，交CA的延长线于E。第48页,共57页，星期六，2024年，5月我有哪些收获呢？与大家共分享！第49页,共57页，星期六，2024年，5月第50页,共57页，星期六，2024年，5月第51页,共57页，星期六，2024年，5月第52页,共57页，星期六，2024年，5月第53页,共57页，星期六，2024年，5月第54页,共57页，