第二十二章二次函数与圆的综合练习人教版2024—2025学年九年级上册.docxVIP

2025年中考数学二轮复习专题二次函数与圆的综合练习

例1.如图已知A（﹣，0），C（0，3），B为x轴中正半轴上的点，以AB为直径的圆过C点．

（1）求∠ACB的度数；

（2）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；

（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

例2.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．

（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；

（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．

①求证：．

②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．

例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．

（1）求直线AD及抛物线的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．

例4.如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点A（﹣4，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，4），点P是抛物线上一动点．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）当点P的坐标为（﹣2，6）时，求四边形AOCP的面积；

（3）当∠PBA＝45°时，求点P的坐标；

（4）过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接AE、AF、EF，判断△AEF的形状，并说明理由．

例5.如图，抛物线与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的

顶点，点D的坐标为(t，0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．

（1）判断△OAB的形状，并说明理由；

（2）连接AC，BE，BO，当∠CAE＝∠OBE时，求AD·AE的值．

例6.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2﹣6x+5经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．

如图，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

例7.如图，已知抛物线y＝k（x+1）（x﹣3k）（且k＞0）与x轴分别交于A、B两点，A点在B点左边，与Y轴交于C点，连接BC，过A点作AE∥CB交抛物线于E点，0为坐标原点．

（1）用k表示点C的坐标（0，）；

（2）若k＝1，连接BE，

①求出点E的坐标；

②在x轴上找点P，使以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，求出P点坐标；

（3）若在直线AE上存在唯一的一点Q，连接OQ、BQ，使OQ⊥BQ，求k的值．

例8.如图，已知直线AB：y＝kx+2k+4与抛物线y＝x2交于A，B两点．

（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；

（2）当k＝﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；

（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离．

课后练习

1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．

①射线BM交抛物线于点P，若BM＝，求点P的坐标；

②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．

2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且OB＝OC＝2OA．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点M，使∠ABC＝∠BCM，如果存在，求点M的坐标，如果不存在，说明理由；

（3）若点D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A，B，D的圆与DF交于点E，连接AE，BE，求△ABE的面积．

3.如图，抛物线y＝﹣x﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是位于B，C之间抛物线上的动点（包括B，C两点），点E是△ABP的外接圆圆心．

（1）如图1，若动点P为抛物线的顶点，求圆心E的坐标；

（2）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，连接PA，PB．

①求证：的值为定值；

②如图3，连接AQ，BQ，记四边形