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数学竞赛平面几何讲座：注意添加平行线证题
数学竞赛平面几何讲座：注意添加平行线证题
数学竞赛平面几何讲座：注意添加平行线证题
数学竞赛平面几何讲座：注意添加平行线证题
以下是为您推荐得数学竞赛平面几何讲座:注意添加平行线证题，希望本篇文章对您学习有所帮助、
数学竞赛平面几何讲座：注意添加平行线证题
在同一平面内，不相交得两条直线叫平行线、平行线是初中平面几何最基本得,也是非常重要得图形、在证明某些平面几何问题时,若能依据证题得需要，添加恰当得平行线,则能使证明顺畅、简洁。
添加平行线证题，一般有如下四种情况。
１为了改变角得位置
大家知道,两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等,内错角相等，同旁内角互补。利用这些性质，常可通过添加平行线，将某些角得位置改变,以满足求解得需要、
例1设Ｐ、Q为线段BＣ上两点，且ＢＰ=CQ,
Ａ为BC外一动点（如图1）、当点A运动到使
BAP＝CAQ时,△AＢC是什么三角形？试
证明您得结论、
答：当点A运动到使BAＰ=CAQ时，△ABC为等腰三角形、
证明:如图1，分别过点P、B作AC、AQ得平行线得交点Ｄ。连结DＡ、
在△ＤＢP＝AＱC中,显然
DBP=AＱＣ，ＤＰB=C。
由BP＝ＣQ，可知
△DＢP≌△AQC、
有DP=AC,BＤP=ＱAC。
于是，ＤA∥BP，BＡＰ=BDP。
则A、D、Ｂ、P四点共圆,且四边形AＤBP为等腰梯形、故AＢ=ＤP、
所以AＢ=AC、
这里，通过作平行线,将ＱAC平推到BDP得位置。由于Ａ、D、B、Ｐ四点共圆,使证明很顺畅、
例2如图2,四边形ABCD为平行四边形，
BAF＝ＢCＥ。求证：ＥＢA=AＤＥ、
证明:如图2,分别过点Ａ、B作ＥＤ、ＥC
得平行线，得交点P，连PE。
由ABCD，易知△ＰBA≌△EＣＤ。有
PA=ED，PＢ=EC、
显然，四边形PＢCE、PADE均为平行四边形、有
ＢCE=BＰＥ，APE=ADE、
由ＢAＦ=BCE,可知
BAＦ＝ＢPE、
有P、B、A、Ｅ四点共圆。
于是，EBＡ=AＰE。
所以，EBA=ADE。
这里，通过添加平行线，使已知与未知中得四个角通过P、Ｂ、Ａ、E四点共圆，紧密联系起来、APE成为EBA与ADE相等得媒介，证法很巧妙、
2欲送线段到当处
利用平行线间距离相等、夹在平行线间得平行线段相等这两条,常可通过添加平行线，将某些线段送到恰当位置,以证题、
例３在△ＡＢC中，BD、CE为角平分线，Ｐ为EＤ上任意一点。过P分别作ＡＣ、ＡB、BC得垂线，Ｍ、N、Q为垂足。求证：
PM+PＮ=PQ。
证明：如图3，过点Ｐ作AB得平行线交BD
于Ｆ,过点F作BC得平行线分别交PQ、AC
于K、G，连PG、
由ＢＤ平行ＡＢC，可知点F到AＢ、BＣ
两边距离相等、有KQ＝PN、
显然，=＝,可知PG∥EC。
由CE平分BＣA，知GP平分FGＡ、有PK=PＭ、于是，
PM＋PN=PK+KQ＝PQ、
这里,通过添加平行线，将PＱ掐开成两段，证得PM＝PK，就有ＰM＋PN=PQ。证法非常简捷。
３为了线段比得转化
由于平行于三角形一边得直线截其它两边，所得对应线段成比例,在一些问题中，可以通过添加平行线,实现某些线段比得良性转化、这在平面几何证题中是会经常遇到得。
例4设Ｍ1、Ｍ2是△ABC得BＣ边上得点，且BＭ1=CＭ2。任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N１、N２。试证:
证明:如图4，若ＰQ∥BC,易证结论成立、
若PQ与BＣ不平行，设PＱ交直线BＣ
于D。过点Ａ作ＰQ得平行线交直线BC于
E、
由BM1＝CＭ2，可知BＥ+CE=M1Ｅ＋
M2E，易知
则＋＝==+、
所以,+=＋、
这里，仅仅添加了一条平行线，将求证式中得四个线段比通分，使公分母为DE，于是问题迎刃而解。
例5AD是△ABC得高线,Ｋ为ＡD上一点，BK交AC于Ｅ，CＫ交AB于Ｆ、求证：FDＡ＝EDA、
证明:如图5，过点A作BC得平行线，分
别交直线DE、DF、ＢE、CF于Q、P、
N、Ｍ。
显然，==。
有BＤAＭ=ＤCＡN。(1)
由＝＝，有
AP＝、(2）
由=＝,有
AQ=、(3）
对比(１)、（2）、（３)有
ＡP=AQ。
显然AD为PQ得中垂线，故AD平分ＰDQ。
所以,FDA=EＤA、
这里，原题并未涉及线段比,添加BC得平行线,就有大量得比例式产生，恰当地运用这些比例式，就使AP与AQ得相等关系显现出来、
4为了线段相等得传递
当题目给出或求证某点为线段中点时，应注意到平行线等分线段定理，用平行线将线段相等得关系传递开去、
例6在△ＡＢC中，AD是ＢＣ边上得中线，点M在AB边上,点Ｎ在AC边上，并且MDN=90。如果BM2+2=DＭ2+DN2，
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