初中数学竞赛 知识点和真题 第17讲 多边形的概念及内角和w .pdfVIP

第17讲多边形的概念

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在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。如果延长

多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫

做凸多边形。下面所说的多边形一般指凸多边形。

n边形的内角和是（n-2）·180，任意多边形的外角和等于360°。

1

n边形的两个不相邻的顶点的连线叫做n边形的对角线，n边形有n(n-3)

2

条对角线.

经典例题解析

例1（1986年北京市初中数学竞赛试题）

长为4的线段分成4小线段，以这四小线段为边可以作成一个四边形，则其中每

一小段必须满足的条件是

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（A）不大于1（B）大于或小于1（C）小于2（D）大于且小于1

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解设x为四小线段中的任意一段，则为4-x其余三段之和，

由于两点之间，线段最短，有4-xx，

解得：x2,

故应选C

例2（第13届“五羊杯”初中数学邀请赛试题）

一个多边形一共有14条对角线，则它的内角和为________.

1

解一个n边形，从一个顶点出发，有(n-3)条对角线，共有n(n-3)条对角线(因

2

为每条对角线被计算了两次)，

1

于是有n(n-3)=14，从而n(n-3)=28，

2

因为7×4=28，故n=7.

所以，这个三角形的内角和为(7-2)·180°=900°.

例3．（2001年山东省初中数学竞赛试题）

在凸n边形中，小于108°的角最多可以有（）

(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个

解：设凸n边形中，小于108°的角有x个。

当多边形的一个内角小于108°时，它的外角大于72°，而任意多边形的外角

和等于360°，故有72x360,

解得x5,

故小于108°的角最多可以有4个。

故选B。

评注利用多边形外角和为360°的结论来解题，是处理与多边形有关的问题的常

用的思路和方法。

例4（杭州市第三届“求是杯”初二学生数学竞赛试题）

一凸n边形最小的内角为95°,其它内角的度数依次增加10°,则n=.

解这个凸n边形的内角由小到大依次为95°,105°,115°,125°，…

于是它的外角由大到小依次为85°,75°,65°,55°,45°,35°.

而这六个外角之和85°+75°+65°+55°+45°+35°=360°.

所以n=6.

例5（2004年浙江富阳市初一数学竞赛试题）

ED

如图，已知AB∥ED，∠C＝90o，∠ABC＝∠DEF，

F

C

∠D＝130o，∠F＝100o，求∠E的大小。