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第09讲：等腰三角形与正方形中的半角模型

【应对方法与策略】

过等腰三角形顶点作两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：

在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN，

∴BM+DN=MN

∠AMB=∠AMN

AB=AH

△CMN的周长等于正方形周长的一半

在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系；

总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.

【多题一解】

一．选择题（共1小题）

1．（2022?夹江县模拟）已知△ABC是等边三角形，点P在AB上，过点P作PD⊥AC，垂足为D，延长BC至点Q，使CQ＝AP，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边三角形ABC的边长为4，那么线段DE的长为（）

A．1 B．2 C．1.8 D．2.5

二．填空题（共4小题）

2．（2022?汕尾二模）如图，△ABC为等边三角形，AC＝9，点M、N分别是边AC、BC上的动点，且AM＝CN，连BM、AN交于点P，连接CP，则CP长度的最小值为．

3．（2022?山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为．

4．（2022?咸宁模拟）如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③；④若正方形ABCD的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值．其中结论正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．

5．（2021秋?鹿城区校级期中）如图1，已知一个量角器的直径MN与正方形ABCD的边长相等，点N与点C重合，量角器的半圆弧与边BC交于点P，过点M作GH⊥MN，交边AB，AD于G，H．在量角器绕点C顺时针旋转的过程中，若的度数为60°，则的值为；如图2，连结CG，CH，与对角线BD分别交于E，F，若BE?DF＝，则S△AGH的值为．

三．解答题（共7小题）

6．（2021春?江汉区月考）△ABC中，∠BAC＝α，AB＝AC，点D、E在直线BC上．

（1）如图1，D、E在BC边上，若α＝120°，且AD2+AC2＝DC2，求证：BD＝AD；

（2）如图2，D、E在BC边上，若α＝150°，∠DAE＝75°，且ED2+BD2＝CE2，求∠BAD的度数．

（3）如图3，D在CB的延长线上，E在BC边上，若∠BAC＝α，∠DAE＝180°﹣，∠ADB＝15°，BE＝4，BD＝2，则CD的值为．

7．（2022?肃州区模拟）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

8．（2022?绥化三模）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．

9．（2020?北碚区模拟）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．

（1）当∠MAN旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

10．已知，正方形ABCD