《数学（下册）（第二版）》 课件 第5、6章　常微分方程、多元函数微积分基础.pptx

常微分方程;目录;教学要求：

1.理解微分方程的概念，理解常微分方程的阶、解、通解、初值条件和特解的概念.

2.会求可分离变量的微分方程的通解和特解.

3.理解一阶线性微分方程的概念，会求一阶线性微分方程的通解和特解.

4.理解二阶常系数齐次线性微分方程及其特征方程的概念.

5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法和步骤.

6.了解微分方程在实际问题中的具体应用.;５.1

可分离变量的微分方程;微分方程的基本概念

微分方程及微分方程的阶

实例考察中的等式都含有未知函数的导数（或微分），它们都是微分方程，由此，我们给出微分方程的定义．

在微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶．;微分方程的解、通解与特解

如果把一个函数代入微分方程后，能使方程两边恒等，则称此函数称为微分方程的解．

微分方程的解有两种形式．如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的（即不可合并而使个数减少的）任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解通常称为微分方程的通解；而不包含任意常数的解通常称为微分方程的特解．;微分方程的初值条件

我们知道通解中的任意常数一旦由某种特定条件确定后，就得到微分方程的特解．一般地，用以确定通解中任意常数的特定条件称为微分方程的初值条件，初值条件通常以的形式给出．

由于一阶微分方程的通解只含一个任意常数，所以对于一阶微分方程，只需给出一个初值条件便可确定通解中的任意常数．

同样，由于二阶微分方程的通解含有两个任意常数，所以对于二阶微分方程需给出两个初值条件;可分离变量的微分方程

一般地，可分离变量的微分方程求解步骤如下：

（1）把一个可分离变量的微分方程化为形如

g（y）dy＝f（x）dx

的方程，这一步骤称为分离变量；;（2）两边积分∫g（y）dy＝∫f（x）dx；

（3）求出积分得通解G（y）＝F（x）＋C，其中，G（y），F（x）分别是g（y），f（x）的原函数，C是任意常数；

（4）若方程给出初值条件，则可确定常数C，得到方程满足初??条件的特解．;239;代入齐次方程，得

可以分离变量，得

两边积分，求出积分后，再用代替u，便得齐次方程的通解．;5.2一阶线性微分方程;一阶线性微分方程的定义;一阶线性微分方程的解

下面我们先来求与一阶非齐次线性微分方程

相对应的齐次线性方程

的解．

显然，一阶齐次线性微分方程②是可分离变量的．分离变量，得;两边积分，得

即得一阶齐次线性微分方程②的通解公式

现在我们使用所谓“常数变易法”来求非齐次线性方程①的通解．

我们把方程①所对应的齐次线性方程②的通解

中的C换成x的未知函数u（x），从而得到;于是

把y和代入方程①，得

整理，得

即;对上式两边积分，得

把上式代入y＝，即得一阶非齐次线性方程①的通解公式

或

上述这种求微分方程解的方法，就是常数变易法．;容易看出，通解中的第一项就是方程①所对应的齐次线性方程②的通解，第二项就是原非齐次线性方程①的一个特解（它可以从通解中取C＝0得到）．由此可知，一阶非齐次线性方程的通解是由对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解相加而构成的．;5.3

二阶常系数齐次线性微分方程;二阶常系数齐次线性微分方程的定义;二阶常系数齐次线性微分方程解的结构;定理（二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加原理）设函数y1（x）与y2（x）是方程y″＋py′＋qy＝0的两个解，则函数

y＝C1y1（x）＋C2y2（x）（C1，C2是任意常数）

也是方程y″＋py′＋qy＝0的解，且当y1（x）与y2（x）线性无关时，y＝C1y1（x）＋C2y2（x）是该方程的通解．;证明将y＝C1y1（x）＋C2y2（x）代入方程

y″＋py′＋qy＝0，

得

[C1y1（x）＋C2y2（x）]″＋p[C1y1（x）＋C2y2（x）]′＋q[C1y1（x）＋C2y2（x）]

＝C1[y1″（x）＋py1′（x）＋qy1（x）]＋C2[y2″（x）＋py2′（x）＋qy2（x）]

＝0．

所以，函数y＝C1y1（x）＋C2y2（x）是方程y″＋py′＋qy＝0的解．

因为y1（x）与y2（x）线性无关，且方程的解y＝C1y1（x）＋C2y2（x）中所含的任意常数的个数与方程的阶数相同，所以它是该方程的通解．;二阶常系数齐次线性微分方程的解法

二阶常系数齐次线性微分方程解的