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第19讲：平行四边形中的分类讨论

【应对方法与策略】

平行四边形中的动点问题是一类非常重要的问题，它将三角形和平行四边形、矩形、菱形、正方形结合在一起进行考察。

解决动点问题的思路，要注意以下几点：

1、设出未知数

动点问题一般都是求点的运动时间，通常设运动时间为t

2、动点的运动路径就是线段长度

题目通常会给动点的运动速度例如每秒两个单位，那么运动路程就是2t个单位。而2t也就是这个点所运动的线段长。进而能表示其他相关线段的长度。

所以我们在做动点问题的时候，第一步就是把图形中的线段都用含t的代数式来表示。

3、方程思想求出时间

动点问题通常都是用方程来解决，根据题目找到线段之间的等量关系，然后用含有t的代数式表示出来，列出方程求解出t的值。

4、难点是找等量关系

这种题的难点是找到等量关系。这个等量关系往往不是题目中用语言叙述出来的，而是同学们根据题型自己挖掘出来的等量关系，所以对同学们图形分解的能力以及灵活运用知识的能力要求非常高。

5、注意分类讨论

因为点的运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种，所以做动点问题要注意分类讨论。

【多题一解】【一题多解】

一、填空题

1．（2022春·四川巴中·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形中，cm，cm，点在边上以每秒1cm的速度从点、A向点运动，点在边上，以每秒4cm的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）在运动以后，当______时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．

二、解答题

2．（2022秋·山东济宁·九年级嘉祥县第四中学校考期末）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形AOCD面积的最大值；

(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2022春·广东湛江·八年级吴川市第一中学校考期末）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止：动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为1秒，当时，求的面积．

(3)在（2）的条件下，当点P，Q运动至四边形为矩形时，求t的值．

4．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，中，，动点P、Q、M、N分别从点A、B、C、D同时出发，沿平行四边形的边，分别向点B、C、D、A匀速运动，运动时间记为t，当其中一个点到达终点时，其余各点均停止运动，连接PQ，QM，MN，NP．已知，，动点P、M的速度均是，动点Q、N的速度均是，

(1)_______，_______（用含t的代数式表示）

(2)在点P、Q、M、N的整个运动过程中，四边形PQMN一定会是一种特殊的四边形吗？如果是，指出并证明你的结论，如果不是，说明理由．

(3)在点P、Q、M、N的运动过程中，四边形PQMN能成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由．

5．（2023春·辽宁大连·九年级专题练习）已知、为双曲线上两点，且其横坐标分别为，，分别过、作轴、轴的垂线，垂足分别为、，交点为．

(1)若矩形的面积为，求的值；

(2)随着a的取值的不同，两点不断运动，判断能否为边的中点，同时为中点？请说明理由；

(3)矩形能否成为正方形？若能，求出此时的值及正方形的边长，若不能，说明理由．

6．（2022春·广东·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，有长方形OABC，其中点C坐标为，，点D是边OC的中点，点P是射线CA上的一个动点，请回答下面的问题：

(1)若点P是线段AC的中点，直接写出________．

(2)如图2，过点P作轴，垂足是点E，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求出点P的坐标．

(3)连接BP，若是等腰三角形，求CP的长度．

7．（2022春·重庆开州·八年级统考期末）如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．

(1)求点C的坐标；

(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；

(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．

8．（2022春·河北