第10讲相似三角形中的“8”字模型.docx

第10讲：相似三角形中的“8”字模型

【应对方法与策略】

(1)如图1，AB∥CD?△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).

(2)如图2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).

【多题一解】

一、单选题

1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（????）

A． B． C． D．

二、填空题

2．（2021秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考期中）如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则______．

三、解答题

3．（2022·上海·九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．

（1）求证：△BND∽△CNM；

（2）如果AD2＝AB?AF，求证：CM?AB＝DM?CN．

4．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．

5．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．

（1）求证：；

（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．

6．（2020·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系x0y中，直线BC和直线OB交于点B，直线AC与直线BC交x轴于点C，OA=4，轴，垂足为点A，AC与OB交于点M．

(1)求直线BC的解析式；

(2)求阴影部分的面积．

7．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考一模）如图，在等边边长为6，O是中心；在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转一周．

(1)当、分别在、边上，连结、，求的面积；

(2)设所在直线与的边或交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求的长；

(3)连结，取中点M，连结，的取值范围为_________．

8．（2023·全国·九年级专题练习）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目

如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）

请回答：∠ADB＝???????°，AB＝???????

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长

9．（2022秋·全国·九年级专题练习）综合与实践：

数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．

问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E．

“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形．

(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；

(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由．

请你帮助他们解决此问题．

(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为___________．（直接写出结果）

10．（2021秋·广东·九年级广州市南武实验学校校考期末）如图，已知二次函数y＝ax2+c的图象与x轴分别相交于点A（﹣5，0），点B，与y轴相交于C（0，﹣5），点Q是抛物线在x轴下方的一动点（不与C点重合）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）如图1，AQ交线段BC于D，令t＝，当t值最大时，求Q点的坐标．

（3）如图2，直线AQ，BQ分别与y轴相交于M，N两点，设Q点横坐标为m，S1＝S△QMN，S2＝2m2，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

11．（2021秋·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考开学考试）（1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE＋FD＝EF；

（2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长；

（3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，则∠QAD＝_______°．

12．（2022·安徽·九年级专题练习）如图1，等