2024_2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.1等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与.docxVIP

PAGE

PAGE1

其次章等式与不等式

2.1等式

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系

考点1一元二次方程的解集

1.下列说法正确的是()。

A.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0

B.方程x2=x的解是x=1

C.一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x=-

D.方程x(x+2)(x-3)=0的解集有三个元素

答案：D

解析：A.当ax2+bx+c=0中的a=0时,该方程不是一元二次方程,故本选项错误;

B.方程x2=x的解是x=1或x=0,故本选项错误;

C.不能干脆用求根公式求一元二次方程的根,要先推断Δ的符号,故本选项错误;

D.方程x(x+2)(x-3)=0的实数根是x=0或x=-2或x=3,共3个,故本选项正确;故选D。

2.方程-3x2+5x-1=0的解集为()。

A.x=-5±13

C.5-136

答案：C

解析：-3x2+5x-1=0,b2-4ac=52-4×(-3)×(-1)=130,x=5±136,

3.方程x2=x+1的解是()。

A.x=1±52B.x=x+1C.x=±

答案：A

解析：x2=x+1,x2-x-1=0,b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=50,x=1±52,

4.下列方程的解集为空集的是()。

A.x4+x2=0 B.x+1=

C.x2-4x-2=1

答案：D

解析：A.x4+x2=0,变形得x2(x2+1)=0,解得x=0,本选项不合题意:B.x+1=x,两边平方得x+1=x2,即x2-x-1=0,解得x=1±52,本选项不合题意;C.x2-4x-2=(x+2)(x-2)x-2=x+2=1,解得x=-1,经检验,x=-1是原方程的解

5.解方程x2-22x+2=0时,确定a,b,c的值是()。

A.a=1,b=22,c=2

B.a=1,b=-22,c=2

C.a=-1,b=-22,c=-2

D.a=-1,b=22,c=-2

答案：B

解析：∵一元二次方程一般形式为x2-22x+2=0,∴a=1,b=-22,c=2,故选B。

6.下面结论错误的是()。

A.方程x2+4x+5=0,则x1+x2=-4,x1x2=5

B.方程2x2-3x+m=0有实根,则m≤9

C.方程x2-8x+1=0可配方得(x-4)2=15

D.方程x2+x-1=0的两根为x1=-1+52,x

答案：A

解析：A.方程x2+4x+5=0,∵Δ=42-4×50,则方程无实数根,此选项结论错误;B.∵方程2x2-3x+m=0有实根,∴Δ=9-8m≥0,∴m≤98,此选项结论正确;C.方程x2-8x+1可配方得(x-4)2=15,此选项结论正确;D.解方程x2+x-1=0得x1=-1+52,x2=-

7.求下列方程的解集:

(1)(3x-1)2=x2;

答案：(3x-1)2=x2,开方得3x-1=±x,即3x-1=x或3x-1=-x,解得x1=12,x2=1

12

(2)4x2+2x-1=0;

答案：4x2+2x-1=0,Δ=b2-4ac=22-4×4×(-1)=200,x=-2±202×4,x1=-1+54,x2

(3)(2x-5)2-9=0;

答案：(2x-5)2-9=0,(2x-5)2=9,开方得2x-5=±3,解得x1=4,x2=1。则方程的解集为{1,4}。

(4)(x-1)2+2x(x-1)=0。

答案：

(x-1)2+2x(x-1)=0,(x-1)(x-1+2x)=0,

x-1=0,x-1+2x=0,x1=1,x2=13,则方程的解集为1

8.解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0。

答案：解:∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程,∴a≠0。∴由原方程,得x2+bax=-ca,等式的两边都加上一次项系数一半的平方b2a2,得x2+bax+b2a2=-ca+b2a2,即x+b2a2=b2-4ac4a2。若b2-4ac0,则开方,得x+b2a=±b2-4ac4a2,即x+b2a=±b2-4ac4a2,

考点2一元二次方程根与系数的关系

9.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实根,则1x1+1x2

A.-4B.-1C.1D.4

答案：D

解析：将1x1+1x2通分后可得x1+x2x1x2,代入x1

∵x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个根,

∴x1+x2=4,x1·x2=1,

1x1+1x2=x1+

10.已知实数x1,x2满意x1+x2=4,x1·x2=-3,则以x1,x2为根的一元二次方程可能是()。

A.x2-4x-3=0 B.x2+4x-3=0

C.x2-4x+3=0 D.x2+4x+3=0

答案：A

解析：∵x1+x2=4,x1x2=-3,∴以x1,x2为根的一元二