湖南省株洲市茶陵县第二中学2024年高三下学期第四次质量检测试题数学试题.doc

湖南省株洲市茶陵县第二中学2024年高三下学期第四次质量检测试题数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）．

A． B． C． D．

2．己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

3．设集合，，则集合

A． B． C． D．

4．如图，内接于圆，是圆的直径，，则三棱锥体积的最大值为（）

A． B． C． D．

5．设等差数列的前项和为，若，则（）

A．23 B．25 C．28 D．29

6．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

7．已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（）

A． B． C． D．

8．如图，设为内一点，且，则与的面积之比为

A． B．

C． D．

9．点为的三条中线的交点，且，，则的值为()

A． B． C． D．

10．已知集合，，则集合的真子集的个数是（）

A．8 B．7 C．4 D．3

11．已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则项系数为（）

A．10 B．32 C．40 D．80

12．设全集集合，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，则的值是______.

14．的展开式中的系数为____.

15．请列举用0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字且比210大的所有三位奇数：___________．

16．在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：①存在两点，使；②存在两点，使与直线都成的角；③若，则四面体的体积一定是定值；④若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知等差数列中，，数列的前项和.

（1）求；

（2）若，求的前项和.

18．（12分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）对及，不等式恒成立，求实数的取值范围.

19．（12分）定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”．

（1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？

（2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为.

20．（12分）已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

21．（12分）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥．

(Ⅰ)求证：平面平面．

(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值．

22．（10分）如图，已知在三棱台中，，，.

（1）求证：；

（2）过的平面分别交，于点，，且分割三棱台所得两部分几何体的体积比为，几何体为棱柱，求的长.

提示：台体的体积公式（，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可．

【详解】

由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，

∵是直线上任意一点，

则直线与直线的距离，

∵圆与双曲线的右支没有公共点，则，

∴，即，又

故的取值范围为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

2、B

【解析】

考虑当时，有两个不同的实数解，令，则有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.

【详解】

因为的图象上关于原点对称的点有2对，

所以时，有两个不同的实数解.

令，则在有两个不同的零点.

又，

当时，，故在上为增函数，

在上至多一个零点，舍.

当时，

若，则，在上为增函数；

若，则，在上为减函数；

故，

因为有两个不同的零点，所以，解得.

又当时，且，故在上存在一个